【正文】 6 誤差分配原則與處理方法 例 :求 的值，總誤差要求為 83 令 Rn ≤ ≤ 則 n應滿足 n≥(500)1/4? 取 n=5,設計算每項數(shù)值的舍入誤差限為 ? 則 4 ? ≤?= ? ?, 取 ? ==*104 S5=1++++ = 按 ?=*103，將 S5舍入為 167。 – (2) R?,即舍入誤差小于截斷誤差時 ,總誤差的主部取決于截斷誤差的主部 。 1 計數(shù)與數(shù)值 ? 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 模型與解 70 ? 前面的舍入誤差估計方法不足： 只對運算量很少的情形適用 大規(guī)模的無有效的方法做出定量估計 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 數(shù)值計算中的誤差種類 ？ 64 數(shù)值計算中的誤差種類 ? 1. 模型誤差 ? 2. 觀測誤差 ? 3. 截斷誤差 ? 4. 舍入誤差 167。 4 算法舉例 61 本章內(nèi)容 ? 167。 4 算法舉例 57 ? 解決方法 (2)選擇求根公式 根據(jù) ax2+bx+c=0中 b的符號選擇求根公式， aacbbs i g nbx24)( 21????12 axcx ?0 0 0 0 1 5 ???=105 167。 4 算法舉例 52 例 計算 0 1 3 1 2 0 0 0 0 1 1 4 0 0 ?????D解 : (1)算法 1。 3 算術(shù)運算中的誤差 數(shù)學問題解的誤差估計 解： 取 ?= ε?= εD = 取 Ｖ ＝ 3 10 ∴ εV= + = 5 49 ? 例 設 f(x,y)=cosy/x， x=?， y=?，如果用 u*=f(,)作為 f(x,y)的近似值，則 u*有幾位有效數(shù)字？ 167。 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 商運算 2yyxxyc ????? ∴ ?C=?x + ?y 38 例 ： 求有效數(shù) 誤差限和絕對誤差限。 3 算術(shù)運算中的誤差 加減運算 33 例題 求和 + 作舍入 處理 ? 和的絕對誤差限為 3*(*104)+*103= 和 = + 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 ? 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 小結(jié) 26 ? 舍入方法 –截斷法 : –絕對誤差限為最末位的 1個單位 –四舍五入法 : –絕對誤差限為末位的半個單位 167。 x= 不是有效數(shù) 。 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 105 有效數(shù)字位數(shù)第一位非零數(shù)字 ??證明： 令有效數(shù) A=a0 a1 … am . am+1 … am+n 19 ? 例： 計算 ，問要取幾位有效數(shù)字才能保證相對誤差限不大于 %？ 167。 ? 若近似數(shù) x的絕對誤差不超過最末一位的半個單位，則稱 x為 有效數(shù) 。 2 舍入方法與有效數(shù)字 舍入方法 n位 11 取 a=a0 a1 … am . am+1 … am+n |Δ |＝ | a－ A | ＝ 0 . 0 … 0 am+n+1 … ≤ 0 . 0 … 0 999... 0 . 0 … 0 1=1 10－ n ? 截斷法 產(chǎn)生的絕對誤差限不超過近似數(shù) a最末位的 1個單位。 2 舍入方法與有效數(shù)字 6 167。數(shù)值分析 計算機學院軟件部 王貴珍 Tel: (o)68914322,(m)13167532629 Email： Address: 中心教學樓 906（軟件教研室） 2 課程內(nèi)容 第一章 數(shù)值 計算中的誤差 第二章 方程（組）的迭代解法 第三章 解線性方程組的直接解法 第四章 解線性方程組的迭代法 第五章 插值法 第六章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 3 第一章 數(shù)值計算中的誤差 4 本章內(nèi)容 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 絕對誤差與相對誤差 ? 近似數(shù) a的 絕對誤差 ? ， 設 a是精確值 A的近似值， ?=a－ A ? 絕對誤差限 ? |?|=|a－ A|?(上界 ) ? 由上式可推知 a－ ? Aa+?，也可表示為 A=a?? a? a+? a A 簡稱 誤差 7 ? 相對誤差 ? ： 絕對誤差與精確值之比 ?=?/A。 167。 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 解： =……… 設取 n位有效數(shù)字 則： 5 10n/9≤% 10n ≤ 104 n ≥ 4 取 4位有效數(shù)字。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 例： 有效數(shù) x=15 105, ? 定點部分 15有 2位有效數(shù)字 ? x有 2位有效數(shù)字 ? 誤差限 ?為 0. 5 105 ? 相對誤差限 ?為 ? 有效數(shù) y= 105 ? y有 3位有效數(shù)字 551015??，誤差限 ?為 105= 103 15?22 ? 例： 下列近似值的絕對誤差限都是 : a=， b=， c=?104 ， d=?104 ? 問：各個近似值有幾個有效數(shù)字？ ? 從小數(shù)點后第二位開始數(shù)起 ? 解： a:n=3 (1,3,8) b:n=1 (3) c:n=0（沒有有效數(shù)字 ） d:n=6（ 8,6,0,0,0,0） 167。 其誤差包含了舍入誤差與原誤差 。 2 舍入方法與有效數(shù)字 小結(jié) 27 ? 我們希望所表示的數(shù)本身就能顯示出它的準確程度，于是引入 ? 有效數(shù)字－ 反映絕對誤差限 – 有效數(shù)的絕對誤差限為最末數(shù)字的半個單位 – 由準確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值，從它的末位數(shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字 ? 在講了有效數(shù)字之后，規(guī)定， 所寫出的數(shù)都應該是四舍五入到最后一位有效數(shù)字位。 6 誤差分配原則與處理方法 29 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 加減運算 34 167。 解： ?C ＝ +C=?C = *= 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 運算時需要注意的地方 (2) 防止大數(shù)吃小數(shù) 真值 ? 43 (3) 兩個相近數(shù)相減，易失有效位 – 兩正數(shù)之差 C=xy的相對誤差限是 – 因為 x和 y的前幾位有效數(shù)字必然相同，相減之后有效數(shù)字位會大大減少，使有效數(shù)字嚴重損失 – 例如： cos20=， 1－ cos20= ? 避免這種情況，可以使用 轉(zhuǎn)換公式 ；或者 增加字長 ，維持一定有效位，保證精度。 3 算術(shù)運算中的誤差 數(shù)學問題解的誤差估計 解： u*=有 2位有效數(shù)字 o s 2 ?????xyyfxyxfsi nc o s2????????= 50 本章內(nèi)容 ? 167。分子分母分別計算后相除 (取 9位小數(shù) ) A=**=* =(有舍入 ) B=**=* =(有舍入 ) ?A= ?B= 109 |1051 ||109 | 9999??????? ?? ????D? 7 6 4 ???????? DDD ??取 D= 167。 4 算法