【文章內(nèi)容簡介】 。 3 算術(shù)運算中的誤差 商運算 39 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 冪運算 ? 冪運算的相對誤差等于底數(shù)相對誤差的指數(shù)倍 ? 冪運算的相對誤差限等于底數(shù)相對誤差限的指數(shù)倍 )1,0( ??? ppxc pdxpxdc p 1??xpx xpx xpxc cc pp?? ???????? 1xpxc p ??? ? 1|?c|=p|?x| 40 (1) 誤差與計算次數(shù)成正比－ 簡化計算步驟，減少運算次數(shù)。 例： 計算多項式的值 011 ...)( axaxaxPnnnn ??????如果改寫為： 0121 )...))(...(()( aaaaxaxxxxP nnn ?????? ??運算次數(shù)： 乘法： n+(n1)+?+1=n(n+1)/2 加法： n 運算次數(shù)： 乘法： n 加法： n 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 運算時需要注意的地方 (1)減少運算次數(shù) 秦九昭算法 (1247) Hernor(1819) 41 (2) 防止大數(shù)吃小數(shù)的情況－ 數(shù)量級相同的先運算 在計算機內(nèi)， 做加法時，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點部分相加。 103() ? 10?3() 對 階 103() ? 103()004688 可能結(jié)果： a+b+c?a+c+b 例： a=1012， b=10， c=a 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 運算時需要注意的地方 (2) 防止大數(shù)吃小數(shù) 42 例如計算 采用 3位浮點數(shù)的截斷方式進行運算 101...31211 ?????y從左到右的次序計算得 y= 從右到左的次序計算得 y= 誤差 誤差 ?避免這種情況 ,按絕對值從小到大的次序相加。 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 運算時需要注意的地方 (2) 防止大數(shù)吃小數(shù) 真值 ? 43 (3) 兩個相近數(shù)相減，易失有效位 – 兩正數(shù)之差 C=xy的相對誤差限是 – 因為 x和 y的前幾位有效數(shù)字必然相同，相減之后有效數(shù)字位會大大減少，使有效數(shù)字嚴重損失 – 例如： cos20=， 1－ cos20= ? 避免這種情況，可以使用 轉(zhuǎn)換公式 ；或者 增加字長 ，維持一定有效位，保證精度。 yxyxyxC ???????167。 3 算術(shù)運算中的誤差 運算時需要注意的地方 (3) 禁止相近數(shù)相減 44 (4)當 商運算的 分母很小時， |Δc|可能很大 xyccyxyxyxxyxc?????????????*******1,商的真值)(0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 ????? 真值baC??? 1 0 0 0 0 0 0商的真值分子舍入誤差 放大了 106倍 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 運算時需要注意的地方 (4) 禁止除數(shù)過小 例： 分母＝ 45 ? (5) 當分母為兩個相近數(shù)相減時 ,會因有效數(shù)字喪失而出現(xiàn) (4)的情況 )(100 0 0 )(1 4 5 4 5 )( 4 分子分子分子 ???這里分子的誤差被擴大 104倍 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 運算時需要注意的地方 (4) 禁止除數(shù)過小 46 ? 在各種數(shù)學模型中 , 它們的解與 x1,x2, …, xn有關(guān) ,可以記為 y=f(x1,x2,…, xn) ? 假定 f在點 (x1,x2,…, xn )可微，則當數(shù)據(jù)誤差較小時，解的誤差限可估計如下： ),...,2,1(||||||||||11nixxfxxfiiniiiniii?????????? ??????其中nnnxxfxxfxxfxxxf??????????????||...|||||), . . . ,(|221121Ai 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 數(shù)學問題解的誤差估計 ?f 47 ? 解的相對誤差限如下： iini iiiini infxxfxxfxxfxxxf????????????? ????|||||),...,(|1121Bi ? 公式僅當 ?xi較小時才合宜 ,否則 Δf或 δf按 Δxi為線性迭加進行估計，實際為非線性變化 系數(shù) Ai、 Bi的大小可以衡量解對數(shù)據(jù)誤差的敏感程度 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 數(shù)學問題解的誤差估計 ?f 48 % || ???? V VV ??? 例 已知球體的直徑 D=,按 v=?D3/6計算體積，求其絕對誤差限與相對誤差限 22 ??????? DDV ?DV DVV ???? ? |||||| ?????? 3 ????V 33 ??????? DV?167。 3 算術(shù)運算中的誤差 數(shù)學問題解的誤差估計 解： 取 ?= ε?= εD = 取 Ｖ ＝ 3 10 ∴ εV= + = 5 49 ? 例 設(shè) f(x,y)=cosy/x， x=?， y=?，如果用 u*=f(,)作為 f(x,y)的近似值，則 u*有幾位有效數(shù)字？ 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 數(shù)學問題解的誤差估計 解： u*=有 2位有效數(shù)字 o s 2 ?????xyyfxyxfsi nc o s2????????= 50 本章內(nèi)容 ? 167。 1 計數(shù)與數(shù)值 ? 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 ? 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 ? 167。 4 算法舉例 ? 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 ? 167。 6 誤差分配原則與處理方法 51 167。 4 算法舉例 52 例 計算 0 1 3 1 2 0 0 0 0 1 1 4 0 0 ?????D解 : (1)算法 1。分子分母分別計算后相除 (取 9位小數(shù) ) A=**=* =(有舍入 ) B=**=* =(有舍入 ) ?A= ?B= 109 |1051 ||109 | 9999??????? ?? ????D? 7 6 4 ???????? DDD ??取 D= 167。 4 算法舉例 D=A/B= 下頁 53 (2)算法 2。分成三組因子 ,每組只取六位小數(shù)計算 a=(有舍入 ) b=c= / = (有舍入 ) D=1. 666667* * = ?????D b c a 0 0 0 0 0 5 0 8 8 8 8 0 0 0 0 0 0 6 6 6 6 6 66????????ca??167。 4 算法舉例 ?D= + = ?D= ?D = 106 105 上頁 取 D= 真值為… 54 例 : 試用 5位有效數(shù)字及 Taylor公式計算 0 1 1 1 2 3 4 5 6 7 n !nxn ??nkkkx0 !n 8 9 10 11 12 13 14 15 !nxn ??nkkk