數(shù)值分析第五章-矩陣分析基礎(chǔ)(編輯修改稿)
2025-02-14 18:42 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 定義 4： 矩陣 A 的諸特征值的最大絕對(duì)值稱為 A的譜半徑， 1( ) m a x iinA?????記為： ()AA? ?21m a x (iin A??? ?? 譜 范 數(shù) ）并且如果 A為對(duì)稱矩陣，則 注 :Rn n中的任意兩個(gè)矩陣范數(shù)也是等價(jià)的。 定義 5： 設(shè) || ||為 Rn n上的矩陣范數(shù)， A,B∈ Rn n 稱 ||AB||為 A與 B之間的距離 。 定義 6： 設(shè)給定 Rn n中的矩陣序列 { }，若 l im 0kk AA?? ??則稱矩陣序列 { }收斂于矩陣 A，記為 lim kk AA?? ?kAkA定理 6 設(shè) B∈R n n，則由 B的各冪次得到的 矩陣序列 Bk, k=0,1,2… )收斂于零矩陣 （ ）的充要條件 為 。 ( ) 1B? ?lim 0kk B?? ?4. 矩陣的條件數(shù) 定義 5 設(shè)矩陣 A 為非奇異矩陣，則稱 1()c on d ??A A A為矩陣 A 的 條件數(shù) ， 其中 ? 是矩陣的算子范數(shù)。 對(duì)矩陣 的任意一個(gè)算子范數(shù) 11( 1 ) ( ) 1c o n d ??? ? ? ? ?A A A A A IA 有 (2) cond ( kA )= cond ( A ) , k 為非零常數(shù) 。 (3)若 ， 則 1?A 1)(c o n d ?? AA注 : cond (A) 與 所取的范數(shù)有關(guān) 常用條件數(shù)有： cond (A)2 )(/)( m i nm a x AAAA TT ???特別地，若 A 對(duì)稱，則 2m a x | | ( )m in | |iic o n d A ???cond (A)1 =‖ A‖ 1 ‖ ‖ 1 1?Acond (A)? =‖ A‖ ? ‖ ‖ ? 1?A167。 初等矩陣 初等矩陣對(duì)線性方程組的研究起著重要的作用，本節(jié)介紹 一般形式的初等矩陣，它是矩陣計(jì)算的基本工具。 初等矩陣 定義 6 設(shè)向量 ,nRR???uv ，則形如 ( , 。 ) T????EIu v u vI的矩陣叫做 實(shí)初等矩陣 ，其中 是 n 階單位矩陣 ， 向量 i?ve1??， 為 初等下三角陣。 1,11( ) ( , 。 1 )11Ti i i i i i iiinill???????? ? ? ? ?????????L L E Il l e l e定理 初等下三角陣 iL具有如下性質(zhì) ： (1) ； 1 ( ) ( ) , 1i i i i ill? ? ? ?L L L 初等下三角矩陣 定義 7 令向量 1,( 0 , , 0 , , , ) Ti i i n ill???ul則稱矩陣 211 1 2 2 1 11211( ) ( ) ( )1nnnnlll???????????????L L L Ll l l(3) 任何一個(gè)單位下三
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