數(shù)值分析第五章-矩陣分析基礎(chǔ)(已修改)
2025-01-30 18:42 本頁面
【正文】 第五章 矩陣分析基礎(chǔ) 167。 向量和矩陣的范數(shù) 1． 向量范數(shù) 定義 1： 設(shè) X ? R n， ??Ｘ ?? 表示定義在 Rn上的一個實值函數(shù) ， 稱之為 X的范數(shù) ， 它具有下列性質(zhì) ： XaaX ??（ 3） 三角不等式 ： 即對任意兩個向量 X、 Y? R n， 恒有 YXYX ???(1) 非負性 ： 即對一切 X ? R n， X ? 0, ??Ｘ ?? 0 (2) 齊次性 ： 即對任何實數(shù) a ? R， X ? R n， 設(shè) X = (x1, x2,…, xn)T， 則有 nxxxX ???? 211（ 1） 222212 nT xxxXXX ????? ?（ 2） ini xX ??? ? 1m a x（ 3） 三個常用的向量范數(shù)： 范數(shù)等價 : 設(shè) ‖ ‖ A 和 ‖ ‖ B是 R上任意兩種范數(shù)，若存在 常數(shù) C C2 0 使得 , 則稱 ‖ ‖ A 和 ‖ ‖ B 等價 。 定理 1： 定義在 Rn上的向量范數(shù) 是變量 X分量的 一致連續(xù)函數(shù) 。 X()X f X?定理 2： 在 Rn上定義的任一向量范數(shù) 都與范數(shù) 等價 ， 即存在正數(shù) M 與 m ( Mm ) 對一切 X?Rn， 不等式 X 1X11 XMXXm ??成立 。 推論 ： Rn上定義的任何兩個范數(shù)都是等價的。 111 XXXn ?? ??? ?? XnXX 1?? ?? XnXX 2對常用范數(shù)，容易驗證下列不等式： 定義 2： 設(shè)給定 Rn中的向量序列 { }， 即 kX01, , , kX X X其中 ? ?Tknkkk xxxX )()(2)(1 , ??若對任何 i (i = 1, 2,…, n )都有 *)(l imikik xx ???則向量 TnxxX ),( **1* ??*l i m XXkk ???稱為向量序列 { }的極限 ， 或者說向量序列 { } 依坐標(biāo)收斂于向量 ， 記為 kX kX*X定理 3： 向量序列 {Xk}依坐標(biāo)收斂于 X*的充要條件是 0l i m * ???? XX kk向量序列依范數(shù)收斂與依坐標(biāo)收斂是等價的。 矩陣范數(shù) 定義 3 設(shè)對任意矩陣 A∈R n m，按一定的規(guī)則有一實數(shù)與之對應(yīng)，記為 ‖A‖ ，若 ‖A‖ 滿足 )(00。0)1 正定性；時才有當(dāng)且僅當(dāng) ??? AAA)(。,||)2 齊次性RcAccA ???)(,)3 三角不等式BABA ???則稱 ‖A‖ 為矩陣 A的 范數(shù) 。 )(,)4 相容性BAAB ?11, sup sup m a xvvn n nvvv v vyxyvx R A R xAxA Ay Ayx?????? ? ???設(shè) 是 向 量 范 數(shù) (v=1,2, 或 ),稱 矩 陣 的 非 負 函 數(shù)=為 矩 陣 A 的 算 子 范 數(shù) .定義 4 （矩陣的算子范數(shù)） 1 1 0 . 0 , m a x 0 . 0 0
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