數(shù)值分析第五章-矩陣分析基礎(參考版)
2025-01-21 18:42本頁面
【正文】 1965年， Golub在 求解最小二乘問題中使用 Householder方法，可參見文獻 [3]。此外， Householder 還是系統(tǒng)使用“范數(shù)”作為數(shù)值方法分析理論工具的先驅(qū)者。 1958年，他發(fā)明了“矩陣反演” (matrix inversion)，可用以當圓錐曲線 (也就是二次曲線 )在 n維空間中其坐標軸發(fā)生旋轉(zhuǎn)時找出其基本不變式。 1980 年獲得計算機先驅(qū)獎。 他于 1954～ 1956年間出任 ACM的主席， 1963—1964年又出任工業(yè)與應用 數(shù)學學會 SIAM的主席。 1937 年取得了芝加哥大學博士學位之后他獲得洛克菲勒基金會的 資助，在芝加哥大學從事研究， 1944年被提升為數(shù)學和生物 物理學的副教授。 定理 （對角優(yōu)勢定理） 若矩陣 A 為嚴格對角占優(yōu)陣 ， 或者為不可約且弱對角占優(yōu)陣，則 de t( ) 0?A若 歷史與注記 阿爾斯通 對角占優(yōu)陣 定義 11 設矩陣 nnR ??A ， 若存在一個排列陣 P ， 使得 ??? ????1 1 1 222AAP A P0AT否則稱矩陣 A 是 不可約的 。 如果次對角線元素 ,1 ( 2 , 3 , , )iih i n? ?全不為零，則稱該矩陣為 不可約的上 Hessenberg陣 。 定理 對任意的非零向量 nR?v ， 可以適當選擇合適的 向量 nR?u ， 滿足 2 1?u ， 用其構造的 H 矩陣可將 v變換為單位向量 ? ?1 , 0 , , 0 T nR??e 的常數(shù)倍，使得 c?H vec其中， 是實數(shù)，并且 || Tc ? vv定義 9 將 n 階單位陣 nI改變第 ,ij 行和第 ,ij 列的四個 元素得到矩陣 11c os si n1( , , )1si n c os11 iijjij???????????????????????????J Givens旋轉(zhuǎn)矩陣 稱為 Givens旋轉(zhuǎn)矩陣 ，或稱 Givens變換， ? 為旋轉(zhuǎn)角 。 ??uv ? 2??， 即可。 )?Ε uv 中 ， 定理 Householder矩陣 H 具有以下性質(zhì)： (1) 矩陣 H 是對稱陣，即 ； T ?Η Η(2) 矩陣 H 是正交矩陣，即 。 2 ) 2 T? ? ?Η Ε Ι? ? ? ? ?為 Householder矩陣 ，或稱 Householder變換、反射矩陣 。 初等下三角陣在矩陣的滿秩分解、三角分解以及解線性代數(shù)方程組的直接解法中起著重要的作用。 1 )11Ti i i i i i iiinill???????? ? ? ? ?????????L L E Il l e l e定理 初等下三角陣 iL具有如下性質(zhì) ： (1) ； 1 ( ) ( ) , 1i i i i ill? ? ? ?L L L 初等下三角矩陣 定義
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