數(shù)值分析第五章-矩陣分析基礎(chǔ)-文庫(kù)吧資料
2025-01-24 18:42本頁(yè)面
【正文】 7 令向量 1,( 0 , , 0 , , , ) Ti i i n ill???ul則稱矩陣 211 1 2 2 1 11211( ) ( ) ( )1nnnnlll???????????????L L L Ll l l(3) 任何一個(gè)單位下三角陣 nR?L 都可分裂成 1 1 2 2 1 1T T Tnn??? ? ? ? ?LI l e l e l e因此，對(duì)任一非奇異下三角陣 L ， 都可分裂成一個(gè)非奇異 對(duì)角陣和若干個(gè)下三角陣的乘積。 ) T????EIu v u vI的矩陣叫做 實(shí)初等矩陣 ，其中 是 n 階單位矩陣 ， 向量 i?ve1??， 為 初等下三角陣。 初等矩陣 初等矩陣對(duì)線性方程組的研究起著重要的作用，本節(jié)介紹 一般形式的初等矩陣，它是矩陣計(jì)算的基本工具。 對(duì)矩陣 的任意一個(gè)算子范數(shù) 11( 1 ) ( ) 1c o n d ??? ? ? ? ?A A A A A IA 有 (2) cond ( kA )= cond ( A ) , k 為非零常數(shù) 。 定義 6： 設(shè)給定 Rn n中的矩陣序列 { }，若 l im 0kk AA?? ??則稱矩陣序列 { }收斂于矩陣 A，記為 lim kk AA?? ?kAkA定理 6 設(shè) B∈R n n，則由 B的各冪次得到的 矩陣序列 Bk, k=0,1,2… )收斂于零矩陣 （ ）的充要條件 為 。 定義 5： 設(shè) || ||2的直接推廣 ) Frobenius范數(shù) : || || ( )TFA tr A A?注： （ 1） （ 2） 矩陣的 Frobenius范數(shù) 不是算子范數(shù)。 （ Ⅲ ）與 相容的矩陣范數(shù)是 ?x????njiji aA1m a x上述三種范數(shù)分別稱為矩陣的 1范數(shù)、 2范數(shù)和 ∞ 范數(shù)。,||)2 齊次性RcAccA ???)(,)3 三角不等式BABA ???則稱 ‖A‖ 為矩陣 A的 范數(shù) 。 矩陣范數(shù) 定義 3 設(shè)對(duì)任意矩陣 A∈R n m，按一定的規(guī)則有一實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記為 ‖A‖ ，若 ‖A‖ 滿足 )(00。 推論 ： Rn上定義的任何兩個(gè)范數(shù)都是等價(jià)的。 定理 1： 定義在 Rn上的向量范數(shù) 是變量 X分量的 一致連續(xù)函數(shù) ?！?A 和 ‖ ‖ A 和 ‖ 第五章 矩陣分析基礎(chǔ) 167。 向量和矩陣的范數(shù) 1． 向量范數(shù) 定義 1： 設(shè) X ? R n， ??Ｘ ?? 表示定義在 Rn上的一個(gè)實(shí)值函數(shù) ， 稱之為 X的范數(shù) ， 它具有下列性質(zhì) ： XaaX ??（ 3） 三角不等式 ： 即對(duì)任意兩個(gè)向量 X、 Y? R n， 恒有 YXYX ???(1) 非負(fù)性 ： 即對(duì)一切 X ? R n， X ? 0, ??Ｘ ?? 0 (2) 齊次性 ： 即對(duì)任何實(shí)數(shù) a ? R， X ? R n， 設(shè) X = (x1, x2,…, xn)T， 則有 nxxxX ???? 211（ 1） 222212 nT xxxXXX ????? ?（ 2）
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