【正文】 乘積運算 ∴ |?C| ?|y| |?x| +|x||?y| ? |y| ?x+ |x| ?y ∴ ?C=?x + ?y ?C yxyyxxxyxyyxCCC ??? ???????????? | ? C| =|?x+?y|? =|?x|+|?y| ? ?x + ?y 37 ? 商運算的相對誤差限等于除數(shù)與被除數(shù)的相對誤差限之和。 3 算術(shù)運算中的誤差 數(shù)學(xué)問題解的誤差估計 ?f 47 ? 解的相對誤差限如下： iini iiiini infxxfxxfxxfxxxf????????????? ????|||||),...,(|1121Bi ? 公式僅當(dāng) ?xi較小時才合宜 ,否則 Δf或 δf按 Δxi為線性迭加進行估計，實際為非線性變化 系數(shù) Ai、 Bi的大小可以衡量解對數(shù)據(jù)誤差的敏感程度 167。 4 算法舉例 6 5 3 ( 106)+ 2 ( 105)+ 2 ( 104)+ 6 ( 103)+ 2 ( 102) 真實值是 商 1/ |η|0/1+|?|≤ ≈0. 4 106 106 所以 56 ?解決方法 (1)增加有效數(shù)位 增加數(shù)值的有效數(shù)位至 11位進行計算。 6 誤差分配原則與處理方法 62 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 數(shù)學(xué)問題的適定性 75 ? 小結(jié) – 數(shù)值計算中除了盡量避免 誤差危害 外，還應(yīng)要分清問題是否 病態(tài) 和算法的數(shù)值 穩(wěn)定 性 ?誤差的定性分析中首先要分清問題是否病態(tài)， ? 如果問題計算結(jié)果相對誤差很大就是病態(tài)問題，對病態(tài)問題計算結(jié)果就可能不可靠， ? 對良態(tài)問題主要考慮算法的穩(wěn)定性，對不穩(wěn)定的算法計算結(jié)果也不可靠 ?計算中還要根據(jù)以前給出的原則盡量避免舍入誤差增長 167。 6 誤差分配原則與處理方法 *103 81 ? 2. 近似式的項數(shù)已定而字長待定 –估算余式 Rn的大小 –令 ?= Rn , 按照 1可確定數(shù)值字長 ? 3. 總誤差 ?給定，要求確定項數(shù)和數(shù)值字長 – 應(yīng)取 ? = Rn = ?/2 ，按照 Rn的大小，確定項數(shù) –在計算公式和 ?已定情況下，按照 1可確定數(shù)值字長 167。 – (3) R??,此時 ,不會出現(xiàn)過多位字長和過多項部分計算量上的浪費現(xiàn)象 167。 若 1）對 X?D， 數(shù)學(xué)問題的解存在且唯一； 2）滿足連續(xù)性條件，即當(dāng) ||ΔX||?0時，有 ||ΔY||?0成立； 則稱 該數(shù)學(xué)問題是適定的 ； 反之，若數(shù)學(xué)問題的解多于一個，或者解不連續(xù)依賴于原始數(shù)據(jù)，則稱為 不適定的 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 ? 167。 4 算法舉例 D=A/B= 下頁 53 (2)算法 2。 yxyxyxC ???????167。 3 算術(shù)運算中的誤差 乘積運算 若多元函數(shù) f在其定義域內(nèi)的一點 (x1,x2, … xn)可微，則 f在該點的增量可表示為： 或 nnnnndxxfdxxfdxxfdfxxxxxfxxfxxff???????????????????????????????????2211222212211)(???35 167。 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 23 ? 注 3： 若已知數(shù) x及其誤差限 ?， 要求 確定其有效數(shù)位 并對x作舍入處理 。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 ? 推論 1 對于給出的 有效數(shù) ，其絕對誤差限不大于其最末數(shù)字的半個單位。 ? 實際計算 ???/a。 6 誤差分配原則與處理方法 5 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 舍入方法 16 ? 定義 ：如果近似數(shù) x的絕對誤差不超過某一位數(shù)字的半個單位，則稱 x準(zhǔn)確到這一位 ； ? 從該位數(shù)字到第一位非零的所有數(shù)字均叫做 有效數(shù)字 ； ? 若共有 n位數(shù)字，則稱 x具有 n位 有效數(shù)字 。 ? ? 兩個不同的有效數(shù) 21 ? 注 2： 浮點數(shù)的有效數(shù)字由其定點部分的有效數(shù)位確定。 25 ? 絕對誤差與相對誤差 –設(shè) A是精確值， a是近似值， –絕對誤差 ? ?=a－ A –絕對誤差限 ? ? |?|=|aA|?(上界 ) –相對誤差 ? ??= ?/A –相對誤差限 η ?η= ? /|A| (上界 ) –絕對誤差和相對誤差有關(guān)系 ?=a ? 167。 + ≤ *102 和 = 誤差限 沒有意義 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 運算時需要注意的地方 (2) 防止大數(shù)吃小數(shù) 42 例如計算 采用 3位浮點數(shù)的截斷方式進行運算 101...31211 ?????y從左到右的次序計算得 y= 從右到左的次序計算得 y= 誤差 誤差 ?避免這種情況 ,按絕對值從小到大的次序相加。 6 誤差分配原則與處理方法 51 167。 60 ? 結(jié)論 : 計算中出現(xiàn)的舍入誤差是不可避免的 –它直接影響到算法的數(shù)值穩(wěn)定性，所以在數(shù)值方法的選擇和設(shè)計中必須慎重考慮 –大量數(shù)值運算中，有效數(shù)位流失是難免的 –由于舍入誤差估計的困難性，粗略的做法是按照預(yù)定精度用多取若干位的數(shù)值計算 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 數(shù)值計算中的誤差種類 69 ? 1. 數(shù)學(xué)模型的精確解 – 使用數(shù)學(xué)模型、 精確數(shù)據(jù) 、精確計算 ? 2. 參數(shù)模型的精確解 – 使用數(shù)學(xué)模型、 觀測數(shù)據(jù) 、精確計算 ? 3. 計算模型的精確解 – 不能求解數(shù)學(xué)模型的精確解時，就 采用數(shù)值的方法建立該數(shù)學(xué)模型的求解模型 ，稱為 計算模型 – 使用 計算模型 、觀測數(shù)據(jù)、精確計算所獲得的解 ? 4. 計算模型的近似解 – 用計算模型、 有舍入的 觀測數(shù)據(jù)、 近似計算 獲得的解 方法誤差 (截斷誤差 ) 舍入誤差 167。過多位字長部分的計算工作量可提高計算精度 。 6 誤差分配原則與處理方法 0 0 ...1...2111555???????ny例 :求 的值，總誤差要求為 441n84 ? 4. 數(shù)值字長已定，待定近似式項數(shù) !...!3!2132nxxxxU n??????近似 ex，若各項結(jié)果均截取至小數(shù)后 5位，試確定該取幾項？ ?例 :對于 0≤x1 ，計算 ex時，利用 ex的泰勒展開式的部分和 ? 解 ： )10()!1(3)!1()( 1 ?????? ? ??nxnexR nxn初取 n=3,則有 R3(x)3/4!=, ?3=3*(*105)= 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 ? 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 數(shù)值計算中的誤差種類 65 ? 數(shù)學(xué)模型是指那些利用數(shù)學(xué)語言模擬現(xiàn)實而建立起來的有關(guān)量的描述 實際問題的真解 數(shù)學(xué)模型的真解 為減化模型忽略次要因素 定理在特定 條件下建立 ? 例 用 s(t)=gt2