【正文】 1||| 110 ?????? ??mmnaa?)1(0105 ????? nma?有效數(shù)位越多，相對誤差就越小 。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 105 有效數(shù)字位數(shù)第一位非零數(shù)字 ??證明： 令有效數(shù) A=a0 a1 … am . am+1 … am+n 19 ? 例： 計算 ，問要取幾位有效數(shù)字才能保證相對誤差限不大于 %？ 167。 20 ? 注 1： 從有效數(shù) x的最末位 數(shù)字向左到 x的第一位非零數(shù)字均為有效數(shù)字。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 由準確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值為有效數(shù)，從它的末位數(shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字。 如果取作 ， 則有五位有效數(shù)字 ,誤差限為。 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 23 ? 注 3： 若已知數(shù) x及其誤差限 ?， 要求 確定其有效數(shù)位 并對x作舍入處理 。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 將 ?擴大成 ? ≤ 0. 5 10k， 對 x舍入到小數(shù)點后 k位 。 ≤ 0. 5 102 x= ， 有 3位有效數(shù)字 。 x= 不是有效數(shù) 。 24 ? 注 4： 若 要求近似 數(shù) x的誤差限小于 ?， 確定 x取幾位有效數(shù)字。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 將 ?縮小成 0. 5 10k≤? ， 對 x對應(yīng)的精確數(shù) 舍入到小數(shù)點后 k位得到 x 。 0. 5 104 ≤ x取至小數(shù)點后第 4位 。 2 舍入方法與有效數(shù)字 小結(jié) 26 ? 舍入方法 –截斷法 : –絕對誤差限為最末位的 1個單位 –四舍五入法 : –絕對誤差限為末位的半個單位 167。 167。 1 計數(shù)與數(shù)值 ? 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 ? 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 ? 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 30 ?x*， y*為準確值， x， y為其近似值 ?絕對誤差為： ?x=xx*， ?y=yy* ?絕對誤差限為 : |xx*| ? ?x , |yy*| ? ?y ?C=x?y ?C=C－ C*= (x?y) － (x*?y*) ＝ (xx*) ?(yy*)= ?x ? ?y ∴ | ?C| ? |?x| + |?y| ? ?x+ ?y ? 和差運算的絕對誤差限為各數(shù)的絕對誤差限之和 。 3 算術(shù)運算中的誤差 加減運算 ?C 31 例 ： 求有效數(shù) ， ， ， 。 3 算術(shù)運算中的誤差 加減運算 32 + 例 : 求有效數(shù) ， ， ， 。 3 算術(shù)運算中的誤差 加減運算 33 例題 求和 + 作舍入 處理 ? 和的絕對誤差限為 3*(*104)+*103= 和 = + 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 乘積運算 若多元函數(shù) f在其定義域內(nèi)的一點 (x1,x2, … xn)可微，則 f在該點的增量可表示為： 或 nnnnndxxfdxxfdxxfdfxxxxxfxxfxxff???????????????????????????????????2211222212211)(???35 167。 ∴ |?C| ?|y| |?x| +|x||?y| ? |y| ?x+ |x| ?y dC=xdy+ydx ?C=y?x+x?y yxyyxxxyyxxyCCC ??? ????????????36 ? 乘積運算的相對誤差為各乘數(shù)的相對誤差之和； ? 乘積運算的相對誤差限為各乘數(shù)相對誤差限之和。 3 算術(shù)運算中的誤差 乘積運算 ∴ |?C| ?|y| |?x| +|x||?y| ? |y| ?x+ |x| ?y ∴ ?C=?x + ?y ?C yxyyxxxyxyyxCCC ??? ???????????? | ? C| =|?x+?y|? =|?x|+|?y| ? ?x + ?y 37 ? 商運算的相對誤差限等于除數(shù)與被除數(shù)的相對誤差限之和。 3 算術(shù)運算中的誤差 商運算 2yyxxyc ????? ∴ ?C=?x + ?y 38 例 ： 求有效數(shù) 誤差限和絕對誤差限。 3 算術(shù)運算中的誤差 商運算 39 167。 例： 計算多項式的值 011 ...)( axaxaxPnnnn ??????如果改寫為： 0121 )...))(...(()( aaaaxaxxxxP nnn ?????? ??運算次數(shù)： 乘法： n+(n1)+?+1=n(n+1)/2 加法： n 運算次數(shù)： 乘法： n 加法： n 167。 103() ? 10?3() 對 階 103() ? 103()004688 可能結(jié)果： a+b+c?a+c+b 例： a=1012， b=10， c=a 167。 167。 yxyxyxC ???????167。 3 算術(shù)運算中的誤差 運算時需要注意的地方 (4) 禁止除數(shù)過小 例： 分母＝ 45 ? (5) 當分母為兩個相近數(shù)相減時 ,會因有效數(shù)字喪失而出現(xiàn) (4)的情況 )(100 0 0 )(1 4 5 4 5 )( 4 分子分子分子 ???這里分子的誤差被擴大 104倍 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 數(shù)學(xué)問題解的誤差估計 ?f 47 ? 解的相對誤差限如下： iini iiiini infxxfxxfxxfxxxf????????????? ????|||||),...,(|1121Bi ? 公式僅當 ?xi較小時才合宜 ,否則 Δf或 δf按 Δxi為線性迭加進行估計，實際為非線性變化 系數(shù) Ai、 Bi的大小可以衡量解對數(shù)據(jù)誤差的敏感程度 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 數(shù)學(xué)問題解的誤差估計 解： 取 ?= ε?= εD = 取 Ｖ ＝ 3 10 ∴ εV= + = 5 49 ? 例 設(shè) f(x,y)=cosy/x， x=?， y=?，如果用 u*=f(,)作為 f(x,y)的近似值，則 u*有幾位有效數(shù)字？ 167。 1 計數(shù)與數(shù)值 ? 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 ? 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 ? 167。 4 算法舉例 52 例 計算 0 1 3 1 2 0 0 0 0 1 1 4 0 0 ?????D解 : (1)算法 1。 4 算法舉例 D=A/B= 下頁 53 (2)算法 2。 4 算法舉例 ?D= + = ?D= ?D = 106 105 上頁 取 D= 真值為… 54