【正文】 非零數(shù)字均為有效數(shù)字。 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 由準確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值為有效數(shù)，從它的末位數(shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字。 例： x=, ? 如果取作 ， 則有三位有效數(shù)字 ,誤差限 。 如果取作 ， 則有五位有效數(shù)字 ,誤差限為。 ? ? 兩個不同的有效數(shù) 21 ? 注 2： 浮點數(shù)的有效數(shù)字由其定點部分的有效數(shù)位確定。 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 例： 有效數(shù) x=15 105, ? 定點部分 15有 2位有效數(shù)字 ? x有 2位有效數(shù)字 ? 誤差限 ?為 0. 5 105 ? 相對誤差限 ?為 ? 有效數(shù) y= 105 ? y有 3位有效數(shù)字 551015??，誤差限 ?為 105= 103 15?22 ? 例： 下列近似值的絕對誤差限都是 : a=， b=， c=?104 ， d=?104 ? 問：各個近似值有幾個有效數(shù)字？ ? 從小數(shù)點后第二位開始數(shù)起 ? 解： a:n=3 (1,3,8) b:n=1 (3) c:n=0（沒有有效數(shù)字 ） d:n=6（ 8,6,0,0,0,0） 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 23 ? 注 3： 若已知數(shù) x及其誤差限 ?， 要求 確定其有效數(shù)位 并對x作舍入處理 。 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 將 ?擴大成 ? ≤ 0. 5 10k， 對 x舍入到小數(shù)點后 k位 。 例： x=,其誤差限 ? ≤ 。 ≤ 0. 5 102 x= ， 有 3位有效數(shù)字 。 舍入處理為 x= 。 x= 不是有效數(shù) 。 其誤差包含了舍入誤差與原誤差 。 24 ? 注 4： 若 要求近似 數(shù) x的誤差限小于 ?， 確定 x取幾位有效數(shù)字。 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 將 ?縮小成 0. 5 10k≤? ， 對 x對應的精確數(shù) 舍入到小數(shù)點后 k位得到 x 。 例： 要求 x的誤差限小于 ? = 。 0. 5 104 ≤ x取至小數(shù)點后第 4位 。 25 ? 絕對誤差與相對誤差 –設 A是精確值， a是近似值， –絕對誤差 ? ?=a－ A –絕對誤差限 ? ? |?|=|aA|?(上界 ) –相對誤差 ? ??= ?/A –相對誤差限 η ?η= ? /|A| (上界 ) –絕對誤差和相對誤差有關系 ?=a ? 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 小結(jié) 26 ? 舍入方法 –截斷法 : –絕對誤差限為最末位的 1個單位 –四舍五入法 : –絕對誤差限為末位的半個單位 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 小結(jié) 27 ? 我們希望所表示的數(shù)本身就能顯示出它的準確程度，于是引入 ? 有效數(shù)字－ 反映絕對誤差限 – 有效數(shù)的絕對誤差限為最末數(shù)字的半個單位 – 由準確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值，從它的末位數(shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字 ? 在講了有效數(shù)字之后，規(guī)定， 所寫出的數(shù)都應該是四舍五入到最后一位有效數(shù)字位。 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 小結(jié) 28 本章內(nèi)容 ? 167。 1 計數(shù)與數(shù)值 ? 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 ? 167。 3 算術運算中的誤差 ? 167。 4 算法舉例 ? 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 ? 167。 6 誤差分配原則與處理方法 29 167。 3 算術運算中的誤差 30 ?x*， y*為準確值， x， y為其近似值 ?絕對誤差為： ?x=xx*， ?y=yy* ?絕對誤差限為 : |xx*| ? ?x , |yy*| ? ?y ?C=x?y ?C=C－ C*= (x?y) － (x*?y*) ＝ (xx*) ?(yy*)= ?x ? ?y ∴ | ?C| ? |?x| + |?y| ? ?x+ ?y ? 和差運算的絕對誤差限為各數(shù)的絕對誤差限之和 。 167。 3 算術運算中的誤差 加減運算 ?C 31 例 ： 求有效數(shù) ， ， ， 。 +) 和 : 4 ( 102)= 4位有效數(shù)字，舍入處理為 167。 3 算術運算中的誤差 加減運算 32 + 例 : 求有效數(shù) ， ， ， 。 + ≤ *102 和 = 誤差限 沒有意義 167。 3 算術運算中的誤差 加減運算 33 例題 求和 + 作舍入 處理 ? 和的絕對誤差限為 3*(*104)+*103= 和 = + 167。 3 算術運算中的誤差 加減運算 34 167。 3 算術運算中的誤差 乘積運算 若多元函數(shù) f在其定義域內(nèi)的一點 (x1,x2, … xn)可微，則 f在該點的增量可表示為： 或 nnnnndxxfdxxfdxxfdfxxxxxfxxfxxff???????????????????????????????????2211222212211)(???35 167。 3 算術運算中的誤差 乘積運算 ?x*,y*為準確值 ,x,y為其近似值 ?絕對誤差為 :?x=xx*,?y=yy* ?絕對誤差限為 : |xx*| ? ?x , |yy*| ? ?y ?C=xy ?dC近似 ?C， dx＝ ?x， dy＝ ?y。 ∴ |?C| ?|y| |?x| +|x||?y| ? |y| ?x+ |x| ?y dC=xdy+ydx ?C=y?x+x?y yxyyxxxyyxxyCCC ??? ????????????36 ? 乘積運算的相對誤差為各乘數(shù)的相對誤差之和； ? 乘積運算的相對誤差限為各乘數(shù)相對誤差限之和。 167。 3 算術運算中的誤差 乘積運算 ∴ |?C| ?|y| |?x| +|x||?y| ? |y| ?x+ |x| ?y ∴ ?C=?x + ?y ?C yxyyxxxyxyyxCCC ??? ???????????? | ? C| =|?x+?y|? =|?x|+|?y| ? ?x + ?y 37 ? 商運算的相對誤差限等于除數(shù)與被除數(shù)的相對誤差限之和。 yxc ? 2yxdyy d xdc ??yyxxyxyyxxyccc???????????2?|||||||| y yx xc cc ???????167。 3 算術運算中的誤差 商運算 2yyxxyc ????? ∴ ?C=?x + ?y 38 例 ： 求有效數(shù) 誤差限和絕對誤差限。 解： ?C ＝ +C=?C = *= 167