【正文】 0 ) , ( 0, 1 , 0 ) ,1( , ) ( 2, 0, 2 ) , ( 1 , 0, 1 )211( , ) ( , ) 2 ( 1 , 0, 1 )2222211222T T TTTTTTu u uvuv u u uv u u u uuuu?? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ??????? ? ?三（. 分）2 1 20 1 / 2 1 / 21 0 0 0 2 2 1 / 20 1 / 2 1 / 2 0 0 1 / 2A Q R????? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 112 39。 211139。12139。221139。121211. 10H ( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( ) 2 ( ) ,( 1 ) 1 , 23( 1 ) 2 ( ) 0,( ) ( 2 3 )( ) ( 1 ) , ( ) ( 3 2 ) ,( 1 ) 1( ) ( 1 )( ) ( ) ( )x h x h xh x x ax b h x x ax b axh a b abh a b ah x x xh x x x h x x xhh x x xH x h x h x x?????? ? ? ? ?? ? ?? ???????? ? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ?四 （ 分 ）令由 解 得令由223( 2 3 ) ( 1 )2x x xxx? ? ? ??? 五、 (10分 ) 10 230 2 2 2 1231 2 2 2 22( 3 )0 1 2248( ) ( ) 2 39。 ( ) 39。 39。 ( ) 39。 39。 39。 ( )2 3 !( ) ( ) 39。 ( ) 39。 39。 ( ) 39。 39。 39。 ( )2 3 !( ) 4 ( ) 3 ( )39。 ( ) ( )23hhf x f x h f x f x fhhf x f x h f x f x fhf x f x f x hf x fh???? ? ? ?? ? ? ?????(1)4*(2) 除2 ，得 六、 (10分 ) ? ???? ??????1011 2211 11)21(21)21(21)( dttttfdttfdxxf ))2 3(1)2 231()21()2 3(1)2 231((6 22 ??????? fff? 9611)21)2231(4121)2 231((6 22102?????????? ??dxx故 七、 (15分 ) 212( ) , ( )x x x x???? 2122210 0 0. 21 1 0. 5, , ,2 4 1. 03 9 1. 214 36 6. 1 0. 61 84,36 98 15 .3 0. 07 11( ) 0. 61 84 0. 07 11( , ) ( , ) ( , )2. 73 0. 61 84 6. 1 0. 07 11Yaabbs x x xY Y a Y b Y?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 11 21 2 31 2 32 0 1.( 10 ) | | 0 5 0 ( 5 ) ( 5 4 )2 0 31 , 4, 51 , 1 4 , 1 5| 1 | 1 1 1 1 2 0,1| 1 4 | 1 1 1 4 1 0,2IAB I aA a a aa a aa a a?? ? ? ? ??? ? ?? ? ???????? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?八 分 解 ：迭 代 矩 陣 的 特 征 值 為 2| 1 5 | 1 1 1 5 1 0,52051| 1 | | 1 5 | 1 1 5 6 2313a a aaa a a a a aa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???當(dāng) 時(shí) ， 迭 代 格 式 收 斂 。（ ）當(dāng) 時(shí) ， 收 斂 最 快 。 12 數(shù)值分析試題 (A) 院系 ,專業(yè) ： 分?jǐn)?shù)： 姓名 ,學(xué)號(hào)： 日期： . 注：計(jì)算題取小數(shù)點(diǎn)后 5位。 一、 填空題 (每空 3分，共 15分 ) 1. 形如0( ) ( )nbkka kf x d x A f x?? ??的插值型求積 公式，其代數(shù)精度 至少可達(dá) ______ 次， 至多可達(dá) ______ 次。 2．以 n + 1個(gè) 整 數(shù) 點(diǎn) k ( k =1,2,… ,n， n+1) 為 節(jié) 點(diǎn) 的 Lagrange 插 值 基 函 數(shù) 為 lk(x)( k =1,2,… ,n,n+1)，則 1 11 ( 0 ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .n nkk lk? ?? ?? 3. 42( ) 2 3, [ 1 , 2, 3, 4, 5] ___ __ .f x x x f? ? ? ?若 則 4. 下面 Matlab程序所描述的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 ________________________ . for j = 1 : n 1 b ( j ) = b ( j ) / L ( j , j )。 b ( j + 1 : n ) = b ( j + 1 : n ) b ( j ) * L ( j + 1 :n, j ) 。 end b ( n ) = b ( n ) / L ( n ,n )。 二、 簡(jiǎn)單計(jì)算題 (每小題 6分，共 18 分 ) 1. 已知矩陣1 2 52 2 15 1 1A???????????，求 Householder 變換陣 H 使 HAH 為三對(duì)角陣。 （不用計(jì)算 HAH） 2. 設(shè) 121111A??????????，求 2( ) .cond A 3. 設(shè) 2 1 14 1 22 2 3A????????????，求 A 的 LU 分解。 13 三、 (12分 ) 已 知 一 組 線 性 無(wú) 關(guān) 的 向 量 1 2 3( 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 1 ) ,.T T Tu u u? ? ? ??????????由 此 向 量 組 ， 按 Schmidt 正 交 化 方 法 ， 求 一 組 A 共 軛 向 量 組 ,1 0 0其 中 A = 0 2 00 0 1 四、 (12分 ) 應(yīng)用 Lagrange 插值基函數(shù)法，求滿足下面插值條件的 Hermite 插值多項(xiàng)式 , 并寫出截?cái)嗾`差。 39。0 1 20 1 200iiixyy 五、 (12分 )設(shè)線性方程組為 1 2 31 2 31 2 34 2 1322 4 3x x xx x xx x x? ? ???? ? ???? ? ? ?? (1) 寫出用 SOR 迭代法求解此方程組的分量計(jì)算格式； (2) 當(dāng)取 2?? 時(shí)， SOR 迭代法是否收斂，為什么？ (3) 當(dāng)取 1?? 時(shí)， SOR迭代法是否收斂，為什么？ 六、 (12分 )已知高斯求積公式 11( ) ( 0 . 5 7 7 3 5 ) ( 0 . 5 7 7 3 5 )f x d x f f?? ? ?? 將區(qū)間 [0,1]二等分，用復(fù)化高斯求積法求定積分 10xdx? 的近似值。 七、 (12分 )用 最小二乘法確定一條經(jīng)過(guò)點(diǎn) (1,0)的二次曲線，使之?dāng)M合下列數(shù)據(jù) 0 .0 1 .0 2 .0 3 .02 .0 2 .8 3 .6 4 .8iixy??? 14 ? ?01010 0 0001( ) , ( ) , , ( ) ,( ) , ( ) , , ( )( ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) )( ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) )( ) , ( ) , , ( )nnnn n nnH spa n x x xx x xx x x xGx x x xG x x x? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?????????八、( 7 分) 設(shè)內(nèi)積空間由 所確定的G r a m 矩陣為 證明：若 為非奇異矩陣，則 線性無(wú)關(guān)。 數(shù)值分析答案 一、 填空題 (每空 3分，共 15分 ) 1. n , 2n+1 . 2. ( 1) ( 1)!n n?? 3. [1, 2, 3, 4, 5] 2f ? 4. , , , ,n n n nL x b L R x R b R?? ? ? ?解 其中 為下三角陣 二、 簡(jiǎn)單計(jì)算題 (每小 題 6分，共 18分 ) 2. 1232 , 7 , 2 ,26TTA A A A ????? ? ????? 的 特 征 值 為， 12 2 7( ) 3 .52c o nd A ??? ? ? 3. 1 0 0 2 1 12 1 0 0 1 01 1 1 0 0 2A LU?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1. 1 2 1 ( 1 , 1 , 1 ) , ( , , )2 2 2TTv u v v?? ? ? ? ? ?三（ 分）解法 ： 2 2 2 1 1 1 1 1( , ) ( 2 , 1 , 0 ) 2 ( , , ) ( 1 , 0 , 1 )2 2 2T T Tv u u A ??? ? ? ? ? ? 2 2 2 11( , 0 , )22 Tvv? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ????( 2, 5 ) , 3, ( 3, 0 ) , ( 5, 5 )1 0 00 2 / 3 5 / 30 5 / 3 2 / 3T T Tx y u x yH1. 15 3 3 3 1 1 3 2 2( , ) ( , )1 1 1 1 1 1 1( 0, 1 , 1 ) ( , , ) ( , 0, )2 2 2 2 2 2 23 ( 1 , 1 , 1 )4T T TTv u u A u A? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? 3 3 3 111( , , )222 Tvv? ? ? ? 11. 12 ( 1 , 1 , 1 ) ,Tvu? ? ?三（ 分）解法2 ： 2 2 12111( 2, 1 , 0 ) ( 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 0, 1 )( , ) 4 1( , ) 4T T Tv u vu Avv Av??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 3 3 1 1 2 23 1 3 2121 1 2 21 1 3( 0, 1 , 1 ) ( 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 0, 1 ) ( 1 , 1 , 1 )4 2 4( , ) ( , )11,( , ) 4 ( , ) 2T T T Tv u v vu A v u A vv A v v A v????? ? ?? ? ? ? ? ??