【正文】 們的解與 x1,x2, …, xn有關(guān) ,可以記為 y=f(x1,x2,…, xn) ? 假定 f在點 (x1,x2,…, xn )可微，則當數(shù)據(jù)誤差較小時，解的誤差限可估計如下： ),...,2,1(||||||||||11nixxfxxfiiniiiniii?????????? ??????其中nnnxxfxxfxxfxxxf??????????????||...|||||), . . . ,(|221121Ai 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 運算時需要注意的地方 (1)減少運算次數(shù) 秦九昭算法 (1247) Hernor(1819) 41 (2) 防止大數(shù)吃小數(shù)的情況－ 數(shù)量級相同的先運算 在計算機內(nèi)， 做加法時，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點部分相加。 167。 +) 和 : 4 ( 102)= 4位有效數(shù)字，舍入處理為 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 ? 167。 例： 要求 x的誤差限小于 ? = 。 例： x=,其誤差限 ? ≤ 。 例： x=, ? 如果取作 ， 則有三位有效數(shù)字 ,誤差限 。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 0. 5 102 解： |Δ|= ||= x*有 3位有效數(shù)字。 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 絕對誤差與相對誤差 8 例： 計算絕對誤差與相對誤差 (1) a=*101 近似精確值 A=*101 (2) a=*103近似精確值 A=*103， 解： (1)?=， (2)?=*104， 167。 4 算法舉例 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 167。 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 舍入方法 n1位 n位 n位 n1位 絕對誤差限 ? = 10n A=a0 a1 … am . am+1 … am+n + 0 . 0…0 am+n+1 … n位 14 ? 四舍五入到小數(shù)點后第 n位的方法 : |Δ| ≤ 10n ? = 10n ? 結(jié)論： 凡是由 準確值 經(jīng)過四舍五入而得到的近似值，其絕對誤差限等于該近似值末位的半個單位。 17 ? 例： 設(shè) x*= x=，則 x*有幾位有效數(shù)字？ 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 由準確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值為有效數(shù)，從它的末位數(shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 將 ?擴大成 ? ≤ 0. 5 10k， 對 x舍入到小數(shù)點后 k位 。 2 舍入方法與有效數(shù)字 有效數(shù)字 將 ?縮小成 0. 5 10k≤? ， 對 x對應(yīng)的精確數(shù) 舍入到小數(shù)點后 k位得到 x 。 1 計數(shù)與數(shù)值 ? 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 加減運算 ?C 31 例 ： 求有效數(shù) ， ， ， 。 ∴ |?C| ?|y| |?x| +|x||?y| ? |y| ?x+ |x| ?y dC=xdy+ydx ?C=y?x+x?y yxyyxxxyyxxyCCC ??? ????????????36 ? 乘積運算的相對誤差為各乘數(shù)的相對誤差之和； ? 乘積運算的相對誤差限為各乘數(shù)相對誤差限之和。 例： 計算多項式的值 011 ...)( axaxaxPnnnn ??????如果改寫為： 0121 )...))(...(()( aaaaxaxxxxP nnn ?????? ??運算次數(shù)： 乘法： n+(n1)+?+1=n(n+1)/2 加法： n 運算次數(shù)： 乘法： n 加法： n 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 運算時需要注意的地方 (4) 禁止除數(shù)過小 例： 分母＝ 45 ? (5) 當分母為兩個相近數(shù)相減時 ,會因有效數(shù)字喪失而出現(xiàn) (4)的情況 )(100 0 0 )(1 4 5 4 5 )( 4 分子分子分子 ???這里分子的誤差被擴大 104倍 167。 3 算術(shù)運算中的誤差 ? 167。 4 算法舉例 ?D= + = ?D= ?D = 106 105 上頁 取 D= 真值為… 54 例 : 試用 5位有效數(shù)字及 Taylor公式計算 0 1 1 1 2 3 4 5 6 7 n !nxn ??nkkkx0 !n 8 9 10 11 12 13 14 15 !nxn ??nkkkx0 !n 16 17 18 19 20 21 22 !nxn ??nkkkx0 !真實值是 8*(*103) = *102 167。 4 算法舉例 11)(m a x)(m i n110110101101?????? ?????????ndxxeIdxxene nxxnnxx59 算法 1的誤差： I0 與 I1的誤差是 Δ I2的誤差是 2Δ I3的誤差是 6Δ… I9的誤差是 9!Δ 算法 2的誤差： I9的誤差是 Δ I8的誤差是 Δ/9 I7 的誤差是 Δ/9/8 … I0 與 I1的誤差 Δ/9! 舍入誤差對計算結(jié)果 影響小的算法稱為 穩(wěn) 定的算法 ,否則稱為 不 穩(wěn)定的算法 . In I0 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 算法 1 算法 2 167。 4 算法舉例 ? 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 數(shù)值計算中的誤差種類 67 ? 求解數(shù)學(xué)模型所用的數(shù)值計算方法如果是一種近似的方法，那么得到的是數(shù)學(xué)模型的近似解，由此產(chǎn)生的誤差稱為 截斷誤差 –精確公式用近似公式代替時 ,所產(chǎn)生的誤差 –截斷誤差是數(shù)值計算中必須考慮的一類誤差 ? 例 一個無窮級數(shù) 實際計算的時候，我們只能取前面有限項 (如 n項 ) ??? 00)( )(!1kk xfk??nkk xfk0 0)( )(!1 ???? 10)( )(!1nkk xfk截 斷誤 差 為167。 5 數(shù)值計算中的誤差 數(shù)學(xué)問題的適定性 73 ? 穩(wěn)定算法和不穩(wěn)定算法 真解 參數(shù)模型精確解 (良態(tài) ) 計算模型近似解 (穩(wěn)定 ) 計算模型近似解 (不穩(wěn)定 ) 167。 5 數(shù)值計算中的誤差 ? 167。 6 誤差分配原則與處理方法 假設(shè)所有的運算量的舍入誤差相同均為 ?，則 ini ixxfdu ??????? ?? 1|| 80 例： 長方形面積 s=ab,其中 a? 5m, b? 200m， 計算 S的運算誤差要求為 ?(s)=1m2， 試確定兩直角邊的允許誤差 解： 因為 ?= ?(s)/(a+b)=1/(5+200)? 可見數(shù)值 a、 b的字長應(yīng)取至小數(shù)后 3