【正文】 6 誤差分配原則與處理方法 !...!3!2132nxxxxU n??????近似 ex，若各項(xiàng)結(jié)果均截取至小數(shù)后 5位，試確定該取幾項(xiàng)？ ? 例 對(duì)于 0≤x1 ，計(jì)算 ex時(shí)，利用 ex的泰勒展開(kāi)式的部分和 86 ?絕對(duì)誤差 ? 設(shè) A是精確值， a是近似值，則定義兩者之差 ?=aA為近似數(shù) a的絕對(duì)誤差 ?絕對(duì)誤差限 ? |?|=|aA|?(上界 )，稱為絕對(duì)誤差限 ?相對(duì)誤差 ? 絕對(duì)誤差與精確值之比 ?A= ?/A為相對(duì)誤差 ?相對(duì)誤差限 |?A|=|?/A|η (上界 )， 稱為相對(duì)誤差限 ?絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差有關(guān)系： ?=a ?A 本章總結(jié) 87 ?有效數(shù)字 同一精確值的不同近似值，有效數(shù)字越多，它的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差就越小 由準(zhǔn)確值經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值，從它的末位數(shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字 ?算術(shù)運(yùn)算中的誤差 明確數(shù)據(jù)誤差在算術(shù)運(yùn)算中的傳播規(guī)律并對(duì)結(jié)果誤差進(jìn)行估計(jì) ?誤差的種類及處理 方法 本章總結(jié) ? = R+? R?? 88 作業(yè) 習(xí)題一 1,2,3,4,12 。 6 誤差分配原則與處理方法 0 0 ...1...2111555???????ny例 :求 的值，總誤差要求為 441n84 ? 4. 數(shù)值字長(zhǎng)已定，待定近似式項(xiàng)數(shù) !...!3!2132nxxxxU n??????近似 ex，若各項(xiàng)結(jié)果均截取至小數(shù)后 5位，試確定該取幾項(xiàng)？ ?例 :對(duì)于 0≤x1 ，計(jì)算 ex時(shí)，利用 ex的泰勒展開(kāi)式的部分和 ? 解 ： )10()!1(3)!1()( 1 ?????? ? ??nxnexR nxn初取 n=3,則有 R3(x)3/4!=, ?3=3*(*105)= 167。 6 誤差分配原則與處理方法 82 0 0 ...1...2111555???????ny???nkn kS151解： 取 Rn=?/2=, ?=?/2= 設(shè)計(jì)算公式為 1 0 1 2 3 y=1/x5 ?????151nkn kR則截?cái)嗾`差估計(jì)如下 ? ? ?? n nxdx 45 4 1167。 absbasabS ??????? ,?????)(|)||(|)(||)(||)(babsasbbsaasS??????????????167。 6 誤差分配原則與處理方法 79 1. 給定運(yùn)算誤差 ? ， 確定參與運(yùn)算的數(shù)值字長(zhǎng) –若計(jì)算公式表示為 u=f(x1, x2 , …, xn)， 設(shè) xi的舍入誤差為 ?xi，則計(jì)算結(jié)果的舍入誤差可按下式近似計(jì)算 ,)||( 1?????? ??ni ixf?? ????? ni ixf1||解得167。此時(shí)過(guò)多位字長(zhǎng)部分的計(jì)算工作量無(wú)意義 。過(guò)多位字長(zhǎng)部分的計(jì)算工作量可提高計(jì)算精度 。 6 誤差分配原則與處理方法 77 167。 4 算法舉例 ? 167。 2 舍入方法與有效數(shù)字 ? 167。 5 數(shù)值計(jì)算中的誤差 數(shù)學(xué)問(wèn)題的適定性 76 本章內(nèi)容 ? 167。 5 數(shù)值計(jì)算中的誤差 數(shù)學(xué)問(wèn)題的適定性 數(shù)學(xué)模型精確解 74 ? 參數(shù)模型是病態(tài)的曲線圖 真解 參數(shù)模型精確解 (病態(tài) ) 計(jì)算模型近似解 (穩(wěn)定 ) 計(jì)算模型近似解 (不穩(wěn)定 ) 數(shù)學(xué)模型精確解 167。 5 數(shù)值計(jì)算中的誤差 數(shù)學(xué)問(wèn)題的適定性 72 ? “良態(tài)”問(wèn)題和“病態(tài)”問(wèn)題 –在適定的情況下，若對(duì)于原始數(shù)據(jù)很小的變化 ， 數(shù)學(xué)模型解的變化也很小，則稱該數(shù)學(xué)問(wèn)題是 良態(tài)問(wèn)題 ； –若原始數(shù)據(jù)很小的變化 ， 數(shù)學(xué)模型解的變化很大，則稱為 病態(tài)問(wèn)題 ? 舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果影響小的算法稱為 穩(wěn)定的算法 ,否則稱為 不穩(wěn)定的算法 . ? 數(shù)學(xué)問(wèn)題的 性態(tài) 是針對(duì) 數(shù)學(xué) 問(wèn)題的；數(shù)值 穩(wěn)定性是針對(duì) 數(shù)值 方法的 167。 5 數(shù)值計(jì)算中的誤差 數(shù)學(xué)問(wèn)題的適定性 確保數(shù)值計(jì)算結(jié)果的正確性： 對(duì)數(shù)值計(jì)算問(wèn)題進(jìn)行定性分析 保證其舍入誤差不會(huì)影響計(jì)算的精度 71 數(shù)學(xué)問(wèn)題的適定性定義 設(shè) D為 X=(x1, x2 , …, xn)的值域，簡(jiǎn)記數(shù)學(xué)問(wèn)題的解 Y與參量（原始數(shù)據(jù)） X的關(guān)系為 Y=f(X)。 5 數(shù)值計(jì)算中的誤差 數(shù)值計(jì)算中的誤差種類 69 ? 1. 數(shù)學(xué)模型的精確解 – 使用數(shù)學(xué)模型、 精確數(shù)據(jù) 、精確計(jì)算 ? 2. 參數(shù)模型的精確解 – 使用數(shù)學(xué)模型、 觀測(cè)數(shù)據(jù) 、精確計(jì)算 ? 3. 計(jì)算模型的精確解 – 不能求解數(shù)學(xué)模型的精確解時(shí)，就 采用數(shù)值的方法建立該數(shù)學(xué)模型的求解模型 ，稱為 計(jì)算模型 – 使用 計(jì)算模型 、觀測(cè)數(shù)據(jù)、精確計(jì)算所獲得的解 ? 4. 計(jì)算模型的近似解 – 用計(jì)算模型、 有舍入的 觀測(cè)數(shù)據(jù)、 近似計(jì)算 獲得的解 方法誤差 (截?cái)嗾`差 ) 舍入誤差 167。 5 數(shù)值計(jì)算中的誤差 數(shù)值計(jì)算中的誤差種類 68 ? 由于計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)有限，參加運(yùn)算的數(shù)據(jù)以及運(yùn)算結(jié)果在計(jì)算機(jī)上存放會(huì)產(chǎn)生誤差，這種誤差稱舍入誤差。 5 數(shù)值計(jì)算中的誤差 數(shù)值計(jì)算中的誤差種類 66 ? 數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)和原始數(shù)據(jù)，是由觀測(cè)和試驗(yàn)得到的 ? 由于測(cè)量工具的精度、觀測(cè)方法或客觀條件的限制 ,使數(shù)據(jù)含有測(cè)量誤差 ,這類誤差叫做 觀測(cè)誤差或數(shù)據(jù)誤差 167。 5 數(shù)值計(jì)算中的誤差 數(shù)值計(jì)算中的誤差種類 65 ? 數(shù)學(xué)模型是指那些利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言模擬現(xiàn)實(shí)而建立起來(lái)的有關(guān)量的描述 實(shí)際問(wèn)題的真解 數(shù)學(xué)模型的真解 為減化模型忽略次要因素 定理在特定 條件下建立 ? 例 用 s(t)=gt2/2, g? /秒 2來(lái)描述自由落體下落時(shí)距離和時(shí)間的關(guān)系。 5 數(shù)值計(jì)算中的誤差 63 數(shù)值方法解題的一般過(guò)程： 1. 對(duì)于要解決的問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型 2. 研究用于求解該數(shù)學(xué)問(wèn)題近似解的算法和過(guò)程 3. 按照 2進(jìn)行計(jì)算，得到計(jì)算結(jié)果 建立數(shù) 學(xué)模型 轉(zhuǎn)化為 數(shù)值公式 進(jìn)行計(jì)算 167。 5 數(shù)值計(jì)算中的誤差 ? 167。 3 算術(shù)運(yùn)算中的誤差 ? 167。 1 計(jì)數(shù)與數(shù)值 ? 167。 60 ? 結(jié)論 : 計(jì)算中出現(xiàn)的舍入誤差是不可避免的 –它直接影響到算法的數(shù)值穩(wěn)定性，所以在數(shù)值方法的選擇和設(shè)計(jì)中必須慎重考慮 –大量數(shù)值運(yùn)算中，有效數(shù)位流失是難免的 –由于舍入誤差估計(jì)的困難性，粗略的做法是按照預(yù)定精度用多取若干位的數(shù)值計(jì)算 167。 4 算法舉例 In=1nIn1 In1=1In /n 在大量計(jì)算中 ,舍入誤差的積累和傳播 ,與算法有關(guān)。 167。 4 算法舉例 ? 例 :求二次方程 x2105x+1=0的根 58 ? 例 ： 計(jì)算 In=∫01xnex1dx， n=0,…,7 ? 解： 算法 1: 用分部積分法可以推知 In滿足以下遞推公式 In=1nIn1 取 I0=∫01ex1dx=ex1|01 =1e1≈ 逐次遞推得 I1,I2,…, I9。 結(jié)果為 x1= (正確） , x2= (正確） ? 例 :求二次方程 x2105x+1=0的根 解 ：按二次方程求根公式及 8位有效數(shù)字計(jì)算，得 )(102 10102 41010 5551051 好??????x)(021010241010 551052 錯(cuò)??????x167。 4