數(shù)值分析第四章數(shù)值積分(參考版)
2025-05-19 23:22本頁(yè)面
【正文】 6 Numerical Differentiation h=，精度 像這樣，將微分的計(jì)算歸結(jié)為在若干節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值的 線性組合 的數(shù)值微分方法稱為 機(jī)械求導(dǎo)方法 。 4 Gaussian Quadrature ? Gauss 公式的余項(xiàng)： ? ???? ba nk kk xfAdxxffR 0 )()(][ /* 設(shè) P為 f 的過 x0 … xn的插值多項(xiàng)式 */ ? ???? ba nk kk xPAdxxf 0 )()(/*只要 P 的階數(shù)不大于 2n+1，則下一步等式成立 */ dxxPxfdxxPdxxf baba ba )]()([)()( ?? ? ????插值多項(xiàng)式 的余項(xiàng) Q： 什么樣的 插值多項(xiàng)式 在 x0 … xn 上有 2n+1 階？ A： Hermite 多項(xiàng)式！ 滿足 )()(),()(kkkk xfxHxfxH ????? ?? ba dxxHxffR )]()([][),(,)()!22()()()!22()(2)12(2)12(badxxwnfdxxwnfbanbaxn????????????? Gauss 公式的穩(wěn)定性： Gauss公式的求積系數(shù) Ak 0, k=0,1,… ,n 定理 ()()22202:()( ) 2( ) ( ) , ( )( ) 0jkjxxk xxjkknbk i k i k i k iaibkkaproofl x G auss L agra ngel x nl x dx A l x l xl x dx A????????? ? ?????設(shè) 是 以 點(diǎn) 為 節(jié) 點(diǎn) 的 插 值 基 函 數(shù) ，則 是 一 個(gè) 次 多 項(xiàng) 式 ， 因 此 求 積 公 式 對(duì) 它 準(zhǔn) 確 成 立 ， 即又求積系數(shù)的另一種計(jì)算方法 結(jié)論： Gauss型積分公式是數(shù)值穩(wěn)定 的。而 Gauss公式可能避免此問題的發(fā)生。 ② Chebyshev 多項(xiàng)式族： 2 1 1 ) ( x x ? ? ? 定義在 [?1, 1]上， ) a r c c o s( c o s)( xkxT k ??Tn+1 的根為 ?????? ??? ?22 12c os nkx kk = 0, …, n 以此為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造公式 ? ?? ???11 02 )()(11 nkkk xfAdxxfx稱為 GaussChebyshev 公式 。 167。0???xStep 3： 代入 f (x) = 1, x 以求解 A0 ， A1 解 線性 方程組，簡(jiǎn)單。 再解上例： ? ? ? 1 0 1 1 0 0 ) ( ) ( ) ( x f A x f A dx x f x Step 1： 構(gòu)造正交多項(xiàng)式 ?2 設(shè) c bx x x a x x x ? ? ? ? ? ? 2 2 1 0 ) ( , ) ( , 1 ) ( ? ? ? ? ? 5 3 ? ? a 0 ) ( 1 0 ? ? ? dx a x x 0 ) , ( 1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 2 1 1 0 2 2 0 0 ) )( 5 3 ( 0 ) , ( 0 ) ( 0 ) , ( dx c bx x x x dx c bx x x ? ? ? ? 21 5 9 10 ? ? ? c b 即： 215910)( 22 ??? xxx?167。 4 Gaussian Quadrature ? 正交多項(xiàng)式族 { ?0, ?1, …, ?n, … }有性質(zhì)：任意次數(shù)不大于 n 的多項(xiàng)式 P(x) 必與 ?n+1 正交。 ? ???ba nkkk xfAdxxfx0)()()(?對(duì)任意次數(shù) 不大于 n 的多項(xiàng)式 Pm(x)， Pm(x) w(x)的次數(shù)不大于 2n+1， 則代入公式應(yīng) 精確成立 ： ????nkkkmkba m xwxPAdxxwxPx 0 )()()()()(?0 = 0 ? “?” 要證明 x0 … xn 為 Gauss 點(diǎn)，即要證公式對(duì)任意次數(shù) 不大于 2n+1 的多項(xiàng)式 Pm(x) 精確成立，即證明： ???? nkkmkba m xPAdxxPx 0 )()()(?設(shè) )()()()( xrxqxwxPm ????? ?? bababa m dxxrxdxxqxwxdxxPx )()()()()()()( ???0 ??? nkkk xrA0)(??? nkkmk xPA0)( ? x0 … xn 為 Gauss 點(diǎn) ? 與任意次數(shù)不大于 n 的多項(xiàng)式 P(x) （ 帶權(quán) ） 正交 。 167。怎么辦？先求出Gauss點(diǎn)，則問題轉(zhuǎn)化為前面的問題，或者將方程組變?yōu)殛P(guān)于求積系數(shù)的線性方程組 將節(jié)點(diǎn) x0 … xn 以及系數(shù) A0 … An 都作為待定系數(shù)。 dxxfx )(10?解： 設(shè)
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