【正文】 否則令 k+1→ k轉(zhuǎn) (2)繼續(xù)計(jì)算 . 上頁(yè) 下頁(yè) Ｔ 數(shù)表 k T0(k) T1(k1) T2(k2) T3(k3) T4(k4) ? 0 T0(0) 1 T0(1) T1(0) 2 T0(2) T1(1) T2(0) 3 T0(3) T1(2) T2(1) T3(0) 4 T0(4) T1(3) T2(2) T3(1) T4(0) ? ? ? ? ? ? 注意計(jì)算順序，第 k步子區(qū)間長(zhǎng)度為 h=(ba)/2k. 上頁(yè) 下頁(yè) 可以證明，如果 f(x)充分光滑，那么 T數(shù)表 每一列的元素及對(duì)角線元素均收斂到所求的積分值 I，即 .lim)(lim)0()(ITmITmmkmk??????對(duì)任意固定的 對(duì)于 f(x)不充分光滑的函數(shù)也可以用 龍貝格算法計(jì)算 ，只是收斂慢一些，這時(shí)也可以直接使用復(fù)化辛普森公式計(jì)算 . 上頁(yè) 下頁(yè) 例 6 利用龍貝格算法計(jì)算積分 k T0(k) T1(k) T2(k) T3(k) T4(k) T5(k) 0 1 2 3 4 5 解 f(x)=x1/2在 [0,1]上僅是一次連續(xù)可微，用龍貝格算法結(jié)果見下表，從表中看到用龍貝格算到 k=5的精度與辛普森求積精度相當(dāng) . 這里 I的精確值為 . .10 2/3 dxxI ??上頁(yè) 下頁(yè) 一般我們將這種 龍貝格算法 也看成表格 我們?cè)谧儾介L(zhǎng)的過(guò)程中運(yùn)用了三個(gè)公式，就能將 粗糙的梯形值 Tn 逐步加工成 精度較高的辛普森值Sn、 柯特斯值 Cn和 龍貝格值 Rn. T1 T2 S1 T4 S2 C1 T8 S4 C2 R1 T16 S8 C4 R2 ﹕ ﹕ ﹕ ﹕ 上頁(yè) 下頁(yè) 例 利用龍貝格方法計(jì)算積分 i 2i T序列 S序列 C序列 R序列 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 這一結(jié)果與 I=π相比較已有較好的精度 . 解 計(jì)算結(jié)果列如下表 : .1 410 2 dxxI ? ??上頁(yè) 下頁(yè) 自適應(yīng)積分方法 復(fù)合求積方法通常適用于被積函數(shù)變化不太大的積分，如果在求積區(qū)間中被積函數(shù)變化很大，有的部分函數(shù)值變化劇烈，另一部分變化平緩，這時(shí)統(tǒng)一將區(qū)間等分用復(fù)合求積公式計(jì)算積分工作量大，因?yàn)橐_(dá)到誤差要求對(duì)變化劇烈部分必須將區(qū)間細(xì)分，而平緩部分則可用大步長(zhǎng)，針對(duì)被積函數(shù)在區(qū)間上不同情形采用不同的步長(zhǎng)，使得在滿足精度前提下積分計(jì)算工作量盡可能小，針對(duì)這類問(wèn)題的算法技巧是在不同區(qū)間上預(yù)測(cè)被積函數(shù)變化的劇烈程度確定相應(yīng)步長(zhǎng)，這種方法稱為 自適應(yīng)積分方法 . 下面僅以常用的復(fù)合辛普森公式為例說(shuō)明方法的基本思想 . 上頁(yè) 下頁(yè) ( ) ( ) d .baI f f x x? ? 設(shè)給定精度要求 ? 0，計(jì)算積分 的近似值 . 先取步長(zhǎng) h=ba，應(yīng)用辛普森公式有 4( 4 )( ) ( ) ( , ) ( ) , ( , ) . ( 5 . 1 )1 8 0 2bab a hI f f x d x S a b f a b??? ??? ? ? ??????其中 ( , ) ( ) 4 ( ) .62h a bS a b f a f f b?? ???? ? ?????????若把區(qū)間 [a,b]對(duì)分，步長(zhǎng) h2=h/2=(ba)/2，在每個(gè)小區(qū)間上用辛普森公式，則得 4( 4 )22( ) ( , ) ( ) , ( , ) . ( 5 . 2 )1 8 0 2b a hI f S a b f a b??? ??? ? ?????上頁(yè) 下頁(yè) 其中 2 ( , ) , , .22a b a bS a b S a S b??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?2 1, ( ) 4 .2 6 4 2a b h hS a f a f a h f a???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ?2 3, 4 .2 6 2 4a b h hS b f a f a h f b?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?實(shí)際上 ()式即為 4( 4 )2( ) ( , ) ( ) , ( , ) . ( 5 .2 )1 8 0 4b a hI f S a b f a b??? ?? ?? ? ?????上頁(yè) 下頁(yè) 與 ()式比較，若 f(4)(x)在區(qū)間 (a,b)上變化不大，可假定 f(4)(η) ? f(4)(?) ，從而可得 4( 4 )216 [ ( , ) ( , ) ] ( ) .1 5 1 8 0 2b a hS a b S a b f ?? ????????與 ()式比較，則得 2 2 1 21( ) ( , ) ( , ) ( , ) .15I f S a b S a b S a b S S? ? ? ? ?這里 S1=S(a,b)， S2=S2(a,b). 如果有 12 1 5 . ( 5 . 3 )SS ???則可期望得到 2( ) ( , ) .I f S a b ???上頁(yè) 下頁(yè) 此時(shí)可取 S2(a,b)作為 I(f)的近似，則可達(dá)到給定的誤差精度 ? ，若不等式 ()不成立，則應(yīng)分別對(duì)子區(qū)間[a,(a+b)/2] 及 [(a+b)/2, b]再用辛普森公式，此時(shí)步長(zhǎng)h3=(1/2)h2，得到 S3(a, (a+b)/2)及 S3((a+b)/2, b). 只要分別考察下面兩個(gè)不等式 3( ) , .22abI f S a ?????????? 3( ) , .22abI f S b ??????????是否成立 . 對(duì)滿足要求的區(qū)間不再細(xì)分，對(duì)不滿足要求的還要繼續(xù)上述過(guò)程，直到滿足要求為止，最后還要應(yīng)用龍貝格法則求出相應(yīng)區(qū)間的積分近似值 . 為了更直觀地說(shuō)明自適應(yīng)積分法的計(jì)算過(guò)程及方法為何能節(jié)省計(jì)算量， 看 p115的 例 7講解 . 上頁(yè) 下頁(yè) 高斯求積公式 由前面的討論已經(jīng)知道，以 a=x0x1?xn=b為節(jié)點(diǎn)的 NC求積公式的代數(shù)精度一般為 n或 n+1，這時(shí)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單地按照閉區(qū)間等距的方式確定 . 對(duì)一個(gè)求積公式而言，如果不固定節(jié)點(diǎn)的位置，在節(jié)點(diǎn)數(shù)目不變的情況下，代數(shù)精度能否提高，最多能達(dá)到多少 ? 這里高斯型求積公式討論的就是最高代數(shù)精度的求積公式 . 上頁(yè) 下頁(yè) 一般理論 前面給出形如 ()的機(jī)械求積公式 含有 2n+2個(gè)待定參數(shù) xk,Ak(k=0,1,?,n). 當(dāng) xk為等距節(jié)點(diǎn)時(shí)得到的插值求積公式其代數(shù)精度至少為 n次，如果適當(dāng)選取 xk(k=0,1,?,n)，有可能使求積公式具有2n+1次代數(shù)精度 . 先看一個(gè)例題 . ????nkkkbaxfAdxxf0)()(上頁(yè) 下頁(yè) 例 8 對(duì)于求積公式 10 0 1 11 ( ) d ( ) ( ). ( 6. 1 )f x x A f x A f x? ???試確定節(jié)點(diǎn) x0, x1和系數(shù) A0, A1，使其具有盡可能高的代數(shù)精度 . 解 令求積公式 ()對(duì)于 f(x)=1,x,x2,x3精確成立，則有 010 0 1 1220 0 1 1330 0 1 12,0,( )2,30.AAA x A xA x A xA x A x?????????????????上頁(yè) 下頁(yè) 解得 0 1 0 133, , 1 .33x x A A? ? ? ? ?于是有 1133( ) d . ( )33f x x f f?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??當(dāng) f(x)=x4時(shí)，由于 41 412 3 3 3 2d 2 .5 3 3 3 9x x f f?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??故公式 ()的代數(shù)精度為 3. 上頁(yè) 下頁(yè) 實(shí)際上，對(duì)形如 ()式的求積公式，其代數(shù)精度不可能超過(guò) 3，因?yàn)楫?dāng) x0, x1?[1,1]時(shí)，設(shè)f(x)=(xx0)2(xx1)2，這是 4次多項(xiàng)式，代入 ()式左端有積分 0，而 f(x0)=f(x1)=0，故右端 =0. 它表明兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式的最高代數(shù)精度為 3. 而一般 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式的代數(shù)精度最高為2n+1次 . 下面研究帶權(quán)積分 ?? ba dxxxfI )()( ?這里 ?(x)為權(quán)函數(shù)，類似 ()式，它的求積公式為 上頁(yè) 下頁(yè) )(.)()()(0????nkkkbaxfAdxxxf ?在這個(gè)求積公式里 Ak(k=0,1,?,n)為不依賴于 f(x)的求積系數(shù)， xk(k=0,1,?,n)為求積節(jié)點(diǎn)，可適當(dāng)選取 xk及 Ak(k=0,1,?,n)使 ()式具有 2n+1次代數(shù)精度 . 定義 4 如果求積公式 ()具有 2n+1次代數(shù)精度 ,則稱其節(jié)點(diǎn) xk(k=0,1,?,n)稱為 高斯點(diǎn) ，相應(yīng)公式 ()稱為 高斯 (Gauss)求積公式 . 上頁(yè) 下頁(yè) 根據(jù)定義要使 ()具有 2n+1次代數(shù)精度，只要取 f(x)=xm，對(duì) m=0,1,?,2n+1,()式精確成立，則得 )(.12,1,0)(0??? ???nmdxxxxA bamnkmkk ??當(dāng)給定權(quán)函數(shù) ?(x)，求出右端積分，則可由 ()式解得 xk及 Ak(k=0,1,?,n). 由于 ()式是關(guān)于 xk及 Ak(k=0,1,?,n)的非線性方程組 ,當(dāng) n1時(shí)求解是困難的 .只有在節(jié)點(diǎn) xk(k=0,1,?,n)確定以后，方可利用 ()式求解 Ak(k=0,1,?,n)，此時(shí) ()式為關(guān)于 Ak的線性方程組 . 下面先討論如何選取節(jié)點(diǎn) xk(k=0,1,?,n)才能使求積公式 ()具有 2n+1次代數(shù)精度 . 上頁(yè) 下頁(yè) 設(shè) [a, b]的 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn) a?x0x1… xn?b. f(x)的拉格朗日插值多項(xiàng)式為 ???nkkkn xlxfxL0)()()(其中 .)(0??? ???nkjj jkjk xxxxxl則 ( 1 )101( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) , ( ) ( , ) .( 1 ) !nnk k nkf x f x l x f x x x a bn ? ? ?? ??? ? ???用乘上式 ?(x)并從 a到 b積分，則得 ( 1 )101( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) .( 1 ) !( 6 . 6 )nbbnk k naakf x x d x A f x f x x x d xn? ? ? ?? ????????其中 ( ) ( ) .bkk aA l x x dx?? ?上頁(yè) 下頁(yè) 余項(xiàng)為 ( 1 )11[ ] ( ( ) ) ( ) ( ) .( 1 ) !b nnaR f f x x x d xn ? ? ???? ? ?顯然當(dāng) f(x)取為 1, x, …, xn時(shí)有 R[f]=0，此時(shí)有 0( ) ( ) ( ) .nbkkakf x x d x A f x??? ??即求積公式 ()至少具有 n次代數(shù)精度 . 現(xiàn)在考察如何選取節(jié)點(diǎn) xk(k=0,1,?,n)才能使求積公式精度提高到 2n+1次 . 此時(shí)求 f(x)對(duì) 2n+1次多項(xiàng)式時(shí) R[f]=0，而當(dāng) f(x)?H2n+1時(shí)， f(n+1)(?(x))為 n次多項(xiàng)式 . 若要求對(duì)任意 p(x)?Hn，積分 1( ) ( ) ( ) 0 .bna p x x x d x??? ??上頁(yè) 下頁(yè) 即相當(dāng)于要求 ?n+1(x)與每個(gè) p(x)?Hn帶權(quán) ?(x)在 [a, b]上正交 . 也就是以節(jié)點(diǎn) xk(k=0,1,?,n)為零點(diǎn)的 n+1次多項(xiàng)式 ?n+1(x)是 [a, b]上帶權(quán) ?(x)的正交多項(xiàng)式，于是便有以下定理 . 定理 5 插值型求積公式 ()的節(jié)點(diǎn) xk (k=0,1,2,?,n) 是 高斯點(diǎn)的充要條件 是以這些節(jié)點(diǎn)為零點(diǎn)的多項(xiàng)式 10( ) ( )nnkkx x x? ?????與任何次數(shù)不超過(guò) n的多項(xiàng)式 p(x)帶權(quán) ?(x)正交 ，即