【正文】 0 區(qū)間 (?,??)上權(quán)函數(shù) W(x)= 2xe? 的 Gauss型求積公式 ,稱為GaussHermite求積公式 , 其 Gauss點為 Hermite多項式 的零點 . 。 0 5 177。 177。 177。 3 177。 177。 0 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ? Gauss 公式的余項： ? ???? ba nk kk xfAdxxffR 0 )()(][ /* 設(shè) P為 f 的過 x0 … xn的插值多項式 */ ? ???? ba nk kk xPAdxxf 0 )()(/*只要 P 的階數(shù)不大于 2n+1，則下一步等式成立 */ dxxPxfdxxPdxxf baba ba )]()([)()( ?? ? ????插值多項式 的余項 Q： 什么樣的 插值多項式 在 x0 … xn 上有 2n+1 階？ 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS A： Hermite 多項式！ 滿足 )()(),()(kkkk xfxHxfxH ????? ?? ba dxxHxffR )]()([][),(,)()!22()()()!22()(2)12(2)12(badxxwnfdxxwnfbanbaxn????????????數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 區(qū)間 [0,??)上權(quán)函數(shù) W(x)=ex的 Gauss型求積公式 ,稱為 GaussLaguerre求積公式 ,其 Gauss點為 Laguerre多項式 的零點 . (2) GaussLaguerre求積公式 公式的 Gauss點和求積系數(shù)可在數(shù)學(xué)用表中查到 . 由 所以 ,對 [0, +?)上權(quán)函數(shù) W(x)=1的積分 ,也可以構(gòu)造類似的GaussLaguerre求積公式 : ?? ? ?? ? 00 )()( dxxfeedxxf xx? ????01)()( niixi xfeAdxxfi數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS n xk Ak n xk Ak 2 5 3 602899450829 6 4 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS (3) GaussHermite求積公式 公式的 Gauss點和求積系數(shù)可在數(shù)學(xué)用表中查到 . n xk Ak n xk Ak 2 177。 5 177。 177。 8 177。 0 4 177。 177。 1 3 177。 177。 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 例：在兩點數(shù)值積分公式中，如果積分點也作為未知量，則有 4個未知量 可以列出 4個方程 ： （以 f(x)在 [1,1]為例） 1010 , xxaa?????????????????????????????????????032021111133113001122112001111001110dxxxaxadxxxaxax d xxaxadxaa可解出： 31,31,1,11010 ????? xxaa可以看出，數(shù)值積分公式 )31()31(1 1 fff dx ?????具有 3階代數(shù)精 度，比梯形公式 1階代數(shù)精度高 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS n個積分點的數(shù)值積分公式，最高 2n－ 1階 ???????baiiniiinbadxxlaxfafIdxxffI)(,)()()()(0證明： 取 )()())(()( 210 xxxxxxxxp nn ?????? ?易知： 0))((0))((??xpIxpIn也就是說，數(shù)值積分公式，對一個 2n+2階的多項式是有誤差的， 所以， n＋ 1個點的數(shù)值積分公式不超過 2n＋ 1階 如何構(gòu)造 最高階精度的公式？ 定理 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 一般性，考慮積分： 0)(,)()()( ?? ? xWdxxfxWfI ba稱為 權(quán)函數(shù) 定義兩個可積函數(shù)的內(nèi)積為： ?? ba dxxgxfxWgf )()()(),(兩個函數(shù)正交，就是指這兩個函數(shù)的內(nèi)積為 0 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 利用 Schmidt正交化過程， ? ?nxx ,1 ? 變?yōu)檎换? 0010( ) ( )( ( ) , ( ) )( ) ( ) ( )( ( ) , ( ) )nnin n ii iig x f xf x g xg x f x g xg x g x?????????? ?????? ?)(,),(),( 10 xpxpxp n?就可以將多項式基函數(shù) 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 以 n階正交多項式的 n個零點為積分點的數(shù)值積分公式有 2n－ 1階的代數(shù)精度 Gauss點 Gauss積分，記為 Gn(f) 證明： ???? ba nnn dxxWxxxxxffIfIfE )()(],[)()()( 21 ??],[ 21 xxxxf n?若 f為 2n－ 1次多項式，則 為 n－ 1次多項式 又， )(),( xpxnn?僅差一個常數(shù)（ 零點相同 ） 0)( ?? fE 1)( ?? nn Pfp?具有一個很好的性質(zhì)： ???? nfIfG n ),()(數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS (2)求出 pn(x)的 n個零點 x1 , x2 , … x n 即為 Gsuss點 . (1)求出區(qū)間 [a,b]上權(quán)函數(shù)為 W(x)的正交多項式 pn(x) . (3)計算積分系數(shù) Gauss型求積公式的構(gòu)造方法 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS )())(),(( ))(,()( 00001 xpxpxpxpxxxp ??)())(),(( ))(,()())(),(( ))(,()(