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數(shù)值積分與微分(參考版)

2024-08-16 19:42本頁面
  

【正文】 x f x f xh f ??? ??? ? 202 321 () 21( ) ( ) 4 ( ) 3 ( ) () 32 hf39。xh ????07:49:44 Numerical Analysis 79 三點(diǎn)公式 ? 三點(diǎn)等距公式 ? 步長 h , 節(jié)點(diǎn) xi = x0 + ih , i = 0, 1, 2 12200 1 0 20 2 0 1121 0 1 2 2 0 2 1( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )x x x xP x f xx x x xx x x x x x x xf x f xx x x x x x x x?????? ? ? ???? ? ? ?? ?0 0 1 2 ( 3 ) 021( ) 3 ( ) 4 ( ) ()( 3) 2f39。 x f x f h f39。 39。 x x xn????? ? ?? ?? 在節(jié)點(diǎn)處的余項(xiàng) ? 插值型求導(dǎo)公式 07:49:44 Numerical Analysis 78 兩點(diǎn)公式 ? 兩點(diǎn)公式 ? 節(jié)點(diǎn) x0 , x1 , 步長 h = x1 x0 011 0 10 1 1 0( ) ( ) ( )xxxxP x f x f xx x x x??????1 0 0 1( ) ( ) ( ) ( )x x f x x x f xh? ? ? ??? ?00 011( ) ( ()) 2)(f39。 ( )nf x P x?( 1)0()( ) ( ) ( )( 1 ) !n nxi n i i jjjiff 39。 x x x x x fnn? ?? ?????? ? ? ? ?????????39。ff 39。 xn ? b 上的函數(shù)值, 對于 [a, b] 中的任意一點(diǎn) , 如何計(jì)算其導(dǎo)數(shù) ? 插值型求導(dǎo)公式 ? 構(gòu)造出 f (x) 的插值多項(xiàng)式 pn(x) ? 用 pn(x) 的導(dǎo)數(shù)來近似 f (x) 的導(dǎo)數(shù) ? 外推算法 07:49:44 Numerical Analysis 77 插值型求導(dǎo)公式 ? 插值型求導(dǎo)公式的余項(xiàng) ? ?( 1)( 1)00() 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) ! ( 1 ) !n nnnxn j j xjj39。 ( ) 39。 07:49:44 Numerical Analysis 54 Gauss 公式 設(shè) p0(x), p1(x), ?, pn(x) , ? 是 [a, b] 上帶權(quán) ?(x) 正交的多項(xiàng)式族,則 Gauss 點(diǎn)即為 pn+1(x) 的零點(diǎn) ? Gauss 點(diǎn)的計(jì)算 ? 求出 ?n+1(x) 的表達(dá)式 ? 計(jì)算其零點(diǎn) 與 1, x, x2, ..., xn 帶權(quán)正交 ? Gauss 系數(shù)的計(jì)算 ? 將 f (x) = 1, x, x2, …, xn 代入,解方程 ? 或利用 Lagrange 基函數(shù) 07:49:44 Numerical Analysis 55 舉例 例 9(P120): 試確定節(jié)點(diǎn) xi 和系數(shù) Ai , 使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度。 1133( )d 33f x x f f?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??01011 , 1 33, 33AAxx?????? ? ???非線性方程組 求解較困難 07:49:44 Numerical Analysis 50 Gauss 型求積公式 一般情形 : 考慮 機(jī)械 帶權(quán)求積公式 0(( ) d ( )) nbiiaixf x x A f x??? ??定義 : 若存節(jié)點(diǎn)在 xi ?[a, b] 及系數(shù) Ai ,使得上面的求積公式具有 2n+1 次代數(shù)精度,則稱節(jié)點(diǎn) xi 為 高斯點(diǎn) , Ai 為高斯系數(shù) ,求積公式為 高斯型求積公式 性質(zhì) :上面的求積公式 至多 具有 2n+1 次代數(shù)精度 將 代入驗(yàn)證即可 ???? niixxxf02)()(Gauss 公式在所有機(jī)械求積公式中代數(shù)精度最高 07:49:44 Numerical Analysis 51 Gauss 點(diǎn) 如何計(jì)算 Gauss點(diǎn) xi 和 高斯系數(shù) Ai 法一 : 解 非線性 方程組 太困難 ! ? 法二 : 分開計(jì)算 ? 先確定 Gauss 點(diǎn) ? 再通過解線性方程組計(jì)算 Gauss 系數(shù) 07:49:44 Numerical Analysis 52 Gauss 點(diǎn) 定理 :節(jié)點(diǎn) xi (i = 0, 1, … , n) 是 Gauss點(diǎn)的充要條件是:多項(xiàng)式 與任意次數(shù)不超過 n 的多項(xiàng)式 p(x) 關(guān)于權(quán)函數(shù) ?(x) 正交,即 10( ) ( )nniix x x? ?????1( ) ( ) ) d 0(bna p x x xx? ? ? ??且高斯系數(shù) Ai 為 ( ) ( ) dbiiaA x l x x?? ?其中 li(x) 為以 xi 為節(jié)點(diǎn)的 Lagrange 基函數(shù)。 07:49:44 Numerical Analysis 36 梯形法遞推公式 ? ? ?????? ????? ?? ????? )()(2)(2)()(211101 bfxfafhxfxfhT niiniiin? 步長折半: [xi , xi+1/2] , [xi +1/2 , xi+1] ? ? ? ?12 1 2 1 2 10( ) ( ) ( ) ( )4nn i i i iihT f x f x f x f x?? ? ????? ? ? ????11 2 10( ) 2 ( ) ( )4ni i iih f x f x f x??????? ? ????? ?11 1 1 200( ) ( ) ( )42nni i iiihhf x f x f x??????? ? ???? 將 [a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] , n abhhiax i ????? ,xi xi +1 xi +1/2 11201 ()22nniihT f x????? ?07:49:44 Numerical Analysis 37 梯形法遞推公式 112 1 20011 ( ) ( 0 . 5 )2 2 2 2nnn n i niihhT T f x T f a i h h?????? ? ? ? ? ???bahn??? ?1 ( ) ( )2baT f a f b???002 1 0 001 ( 0 .5 )22 ihT T f a i h h?? ? ? ??114 2 1 101 ( 0 .5 )22 ihT T f a i h h?? ? ? ??328 4 2 201 ( 0 .5 )22 ihT T f a i h h?? ? ? ??0h b a??1 2bah ??2 4bah ??07:49:44 Numerical Analysis 38 梯形法遞推公式 11211112201 ( 0 . 5 )22kkkkkkihT T f a i h h???????? ? ? ??112k kbah? ???121( ) ( 1 ) 11101 ( 0 . 5 )22kkk kkkihT T f a i h h? ?? ????? ? ? ??記 ()2 kkTT1 12k kbah? ???07:49:44 Numerical Analysis 39 梯形遞推算法流程圖 ?算法實(shí)現(xiàn) ??? ???10 212 )(22nk knn xfhTT輸出 T2 h ← ba T1 ← h/2*(f(a)+f(b)) xb Y T2← T1/2+h/2*s h ← h/2 T1 ← T2 s ← s+f(x) x ← x+h s ← 0 x ←a +h/2 N N Y |T2T1| ?輸入 a, b, ?← ← h/2 T ← T1 T1 ← T2 |T2T ?dxx x?10s i n求07:49:44 Numerical Analysis 40 舉例 解: 例 5(P110): 用梯形法的遞推公式計(jì)算定積分 , 要求計(jì)算精度滿足 10s i n ( ) dx xx?? ?( 0 ) ( ) ( ) 0 .9 2 0 7 3 5 4 9 22baT f a f b?? ? ?0( 1 ) ( 0 )00001 ( 0 . 5 ) 0 . 9 3 9 7 9 3 2 8 522 ihT T f a i h h?? ? ? ? ??1( 2 ) ( 1 )11101 ( 0 . 5 ) 0 . 9 4 4 5 1 3 5 2 222 ihT T f a i h h?? ? ? ? ??1( 3 ) ( 2 )22201 ( 0 . 5 ) 0 . 9 4 5 6 9 0 8 6 422 ihT T f a i h h?? ? ? ? ?? 72 10|| ???? ?nn TTk T (k) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ ] = 07:49:44 Numerical Analysis 41 梯形法的加速 ? 梯形法遞推公式算法簡單,編程方便 ? 梯形法的加速-- 龍貝格 (Romberg) 算法 但收斂速度較 慢 定理 :設(shè) f(x)?C ?[a, b], 記 Tn = T (h), 則有 2 4 212( ) [ ] iiT h I f h h h? ? ?? ? ? ? ? ?bahn??07:49:44 Numerical Analysis 42 梯形法的加速 2 4 212() [] iiIhTh f h h? ? ?? ? ? ? ? ?2 4 212[]2 2 2 2iih h h hT I f ? ? ?? ?
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