【正文】 x f x f x f hx fh ?? ? ? ? ?? ? 2 (2 )1 3 101( ) ( ) ( ) ()2 6 hf39。xh ????? ?10 111( ) ( ()) 2)(f39。 x P 39。 x P 39。 10 0 1 10 ( ) d ( ) ( )x f x x A f x A f x???解： 易知 是 [0, 1] 上的權(quán)函數(shù) ()xx? ?具有最高代數(shù)精度的機(jī)械求積公式是 Gauss 型公式 22 0 1( ) ( ) ( )x x x x x x bx c? ? ? ? ? ? ?設(shè) 節(jié)點(diǎn) x0 , x1 是 Gauss點(diǎn) ?2(x) 與 1, x 帶權(quán)正交 120120( ) d 0 ( ) d 0x x xx x x x??? ???? ?????1 0 5, 9 2 1bc? ? ?令 ?2(x) = 0, 解得 899, 212xx??07:49:44 Numerical Analysis 56 舉例 將 f (x)＝ 1, x 代入求積公式，使其精確成立，可得 101 010 0 1 1 0 d 2 / 3 d 2 / 5A A x xA x A x x x x? ? ? ???? ? ? ???? 6 , 1AA??求積公式為 10 ( ) d 0 . 2 7 7 6 ( 0 . 2 8 9 9 ) 0 . 3 8 9 1 ( 0 . 8 2 1 2 )x f x x f f???07:49:44 Numerical Analysis 57 余項(xiàng) (參看 P120) 設(shè) p2n+1(x) 是 f(x) 在節(jié)點(diǎn) x0, x1, ?, xn 上的 2n+1 次 Hermite 插值多項(xiàng)式 , 即 21 ( ) ( ) ,n i ip x f x? ? 2139。 10 0 1 11 ( ) d ( ) ( )f x x A f x A f x? ???解： 將 f (x)＝ 1, x, x2, x3 代入求積公式，使其精確成立，可得 010 0 1 1220 0 1 1330 0 1 120 2 / 30AAA x A xA x A xA x A x???????????? ???易驗(yàn)證該公式對(duì) f (x)＝ x4 不精確成立， 所以此求積公式具有 3 次代數(shù)精度。10s i n( ) co s ( ) dxf x x t tx?? ?11()00d( ) co s ( ) d co s dd2kkkkkf x x t t t x t tx???? ? ???????1()00 1 0 1m a x ( ) m a x co s d2kkxxkf x t x t t?? ? ? ????? ?????101 d1kttk?? ??4 ( 4 ) 6[ ] ( ) 0 .2 7 1 1 02880SSbaR f h f ? ??? ? ? ?例 3（ P108） 07:49:44 Numerical Analysis 33 舉例 例 4(P104)： 計(jì)算定積分 用復(fù)合梯形公式和復(fù)合 simpson公式時(shí)， n 分別取多大時(shí)才能使得誤差不超過 ? 105 10 dxex?解： () xf x e?()0 1 0 1m ax ( ) m axkxxxf x e e? ? ? ???要使誤差不超過 ? 105 ，需要 2511 101 2 2en??? ?????? ? 取 n=213 213 等分 22 1[ ] ( )1 2 1 2TTb a eR f h fn?? ??? ? ?????39。 ( , )ab? ?07:49:44 Numerical Analysis 28 復(fù)合 Simpson 公式 復(fù)合 Simpson 公式 11211100( ) d ( ) d [ ( ) 4 ( ) ( )]6iinnb x bii ia x aiihf x x f x x f x f x f x???????? ? ? ???? ? ?121101( ) 4 ( ) 2 ( ) ( )6nniiinih f a f x f x f b S???????? ? ? ???????? 余項(xiàng) []5 1( 4 )0()2880niihR f f ????? ? 4 ( 4 ) ()2880ba hf ???? ( , )ab? ?性質(zhì) ：復(fù)合梯形公式和復(fù)合 Simpson 公式都是收斂的，也都是穩(wěn)定的。22( 1 ) 101[ ] ( ), ( 1 ) ! 2mm nmmiiibaR f K f K A xmm?????????? ? ? ????? ?? ?( , )ab? ?? Simpson公式 (n=2) 的余項(xiàng) 5( 4 )1[ ] ( )1 8 0 2baR f f ??????????( , )ab? ?? Cotes 公式 (n=4) 的余項(xiàng) 7( 6 )8[ ] ( )9 4 5 4baR f f ??????????( , )ab? ?07:49:44 Numerical Analysis 25 本講內(nèi)容 ? 復(fù)合求積公式 ? 復(fù)合梯形公式 ? 復(fù)合 Simpson 公式 ? 梯形法的遞推化計(jì)算 ? Romberg 算法基本思想 : 外推技巧 ? Romberg 算法 : 計(jì)算過程 ? Romberg (龍貝格 ) 算法 07:49:44 Numerical Analysis 26 復(fù)合求積公式 ? 提高積分計(jì)算精度的常用兩種方法 ? 用 復(fù)合公式 ? 用 非等距節(jié)點(diǎn) ? 將積分區(qū)間分割成多個(gè)小區(qū)間 ? 在每個(gè)小區(qū)間上使用低次牛頓－科特斯求積公式 復(fù)合求積公式 07:49:44 Numerical Analysis 27 復(fù)合梯形公式 ? 將 [a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ，其中 (i = 0, 1, …, n) n abhhiax i ????? ,復(fù)合梯形公式 111100( ) d ( ) d [ ( ) ( )]2iinnbxiiaxiihf x x f x x f x f x??????? ? ?????11( ) 2 ( ) ( )2niinh f a f x f Tb????? ? ??????? 余項(xiàng) []3 10()12niihR f f ????? ? 39。而且當(dāng) n 較大時(shí)，由于 Runge現(xiàn)象， 收斂性也無法保證 。 39。 ( 0 )3 3 6f x x f f f? ? ??07:49:44 Numerical Analysis 11 代數(shù)精度 ? 容易 驗(yàn)證： ? 左矩形公式 和 右矩形公式 具有 零次 代數(shù)精度 ? 中矩形公式 和 梯形公式 具有 一次 代數(shù)精度 ? 特別地，任意 具有 m ( ?0 ) 次代數(shù)精度的 求積公式一定滿足 ： 010 = niniA A A A b a?? ? ? ? ??07:49:44 Numerical Analysis 12 插值型求積公式 設(shè)求積節(jié)點(diǎn)為： a ? x0 x1 10 1 00 ( ) d ( 0 ) ( 1 ) 39。即： 22110 d 2mmn bmmii aibaA x x xm?????????? ?( k = 0, 1, … , m ) 代數(shù)精度的驗(yàn)證方法 110 d 1kkn bkkii aibaA x x xk???????? ?07:49:44 Numerical Analysis 8 舉例 例： 試確定 Ai ， 使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度 0( )d ( )nbiiaif x x A f x?? ??解： 將 f (x)＝ 1, x, x2, … , xn 代入求積公式，使其精確成立，得 01 nA A A b a? ? ? ? ?2 2 2 3 30 0 1 11 ()3nnA x A x A x b a? ? ? ? ?110 0 1 11 ()1n n n n nnnA x A x A x b an??? ? ? ? ??220 0 1 11 ()2nnA x A x A x b a? ? ? ? ?… … 存在唯一解： 01, , , nA A A? ? ?所以求積公式為： 0( )d ( )nbiiaif x x A f x??? ??具有至少 n 階代數(shù)精度 07:49:44 Numerical Analysis 9 舉例 例： 試確定系數(shù) Ai ， 使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并求出此求積公式的代數(shù)精度。第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 數(shù)值分析 07:49:44 Numerical Analysis 2 本章內(nèi)容 ? 數(shù)值積分 ? 基本概念 ? NewtonCotes 求積公式 ? 復(fù)合求積公式 ? Romberg 求積公式 ? Gauss 求積公式 ? 多重積分 ? 數(shù)值微分（略） 07:49:44 Numerical Analysis 3 本講內(nèi)容 ? 數(shù)值積分的必要性 ? 代數(shù)精度 ? 插值型求積公式 ? 收斂性與穩(wěn)定性 ? 數(shù)值積分基本概念 ? 公式介紹 ? 代數(shù)精度 ? 余項(xiàng)表達(dá)式 ? NewtonCotes 公式 07:49:44 Numerical Analysis 4 數(shù)值積分 ( ) ( ) dbaI f f x x? ?? 微積分基本公式： ? ??ba aFbFxxf )()(d)((3) f (x) 表達(dá)式未知 ，只有通過測量或?qū)嶒?yàn)得來的數(shù)據(jù)表 ? 但是在許多實(shí)際計(jì)算問題中 (2) F(x) 難求！ 甚至有時(shí)不能用初等函數(shù)表示。 10 1 21 ( ) d ( 1 ) ( 0 ) ( 1 )f x x A f A f A f? ? ? ? ??解： 將 f (x)＝ 1, x, x2 代入求積公式，使其精確成立，可得 110 1 222023302( ) / 1 2 ( ) / 2 0 ( ) / 3 2 / 3A A A b aA A b aA A b a? ? ? ?