【正文】 ? 若線性系統(tǒng) ， 其中 ， ? 中 A的特征值 滿足條件 0(j=1,… ,N), ? ?? ?39。3239。039。)(),(yyayyxf1 1 2 3 412132431( 2 2 )6( , ) ( , )21 ( , )22 ( , )nnnnnnnnnny y k k k kk h f x yhk h f x y khk h f x y kk h f x h y k?? ? ? ? ??? ? ?? ? ?? ? ?若寫成分量形式就是 i=1,2,…,m 為了幫助理解這一公式的計(jì)算過程 ， 我們?cè)倏紤]兩個(gè)方程的特殊情形： ),()21,2()21,2(),()22(61342312143211kyhxhfkkyhxhfkkyhxhfkyxhfkkkkkyynniinniinniinniiiiiiinin????????????????這時(shí)四階龍格－庫塔公式具有形式 ???????????000039。TmTmTmyxfyxfyxfyxfyyyyyyy)),() , . . .,(),((),()...,(),...,(y210,2022021??? 則常微分方程組的出值問題可以表示為 前幾節(jié)我們主要討論了常微分方程的出值問題的數(shù)值解法 。 這樣 ，絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域越大 ， 方法適用性越廣 ， 因而越優(yōu)越 。??hu ?inkiikiink yy ???? ?? ?00???0)()( ?? ?????kii ,...2,1, ???hu ? kii , . . .2,1),( ???0?h 0?? 0)( ???1?? 0,0)(1 ?? ???nkknnn dddy ??? ...2211 ???另一方面 ， y(0)=1的試驗(yàn)方程的精確解為 ， 設(shè)多步法截?cái)嗾`差為 ， 由此可得 ， 我們稱 為主根 ， 其它根都為增根 。 記 得 是常系數(shù)差分方程 ， 其特征方程為 記它的 k個(gè)特征根為 并設(shè)它們是互異的 。 ? ?????????? ybxaD ,|12||)。 （ 稱 2為 ） 特征根條件 。 如果特征多項(xiàng)式的零點(diǎn)皆不大于 1，且等 于 1的零點(diǎn)是單重的，稱根條件成立。 0 ,y ? 10 0 ,kk? ? ??? ? ? ＝ 139。 4階 Adams預(yù)測 校正法 ： 其中 )(2 7 019 1111 pnn yyyy ???? ???h ?????? )(2701911pncn yy0y 1y 2y 3y 4ypc yy 33 ? ??? ?h ??? ?h))(,( xyxyf????我們也可以在教學(xué)演示上看出修正的預(yù)測校正格式的誤差非常的小。 它們的局部截?cái)嗾`差分別是 1 1 2 3( 5 5 5 9 3 7 9 )24pn n n n n nhy y f f f f? ? ? ?? ? ? ? ?1 1 1 2( 9 1 9 5 )24cn n n n n nhy y f f f f? ? ? ?? ? ? ? ?5 ( 5 ) 61 1 1251( ) ( ) ( )720ppn n n nT y x y h y x O h? ? ?? ? ? ?5 ( 5 ) 61 1 119( ) ( ) ( )720ccn n n nT y x y h y x O h? ? ?? ? ? ? ?Adams預(yù)測 校正公式 利用外推原理 ， 將上兩式作線性組合消去局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng) 。我們可以用它們來調(diào)節(jié)計(jì)算步長的大小，即選擇一個(gè)合適的的步長，使 ， 其中的是要求達(dá)到的計(jì)算精度。 至于實(shí)際計(jì)算步長的選取 ， 我們對(duì) 預(yù)測 校正公式使用外推原理 ， 得到誤差估計(jì)式 ， 用來調(diào)整計(jì)算步長 ， 使達(dá)到控制誤差要求 。 121 ( 9 )8n n ny y y???? 113 ( 2 )8 n n nh f f f??? ? ?5 ( 5 )1 2 11 ( ) , ( , )40n n n n nT h y x x??? ? ?? ? ?米爾尼方法、漢明方法及 辛普森方法 1 1 1 1( 4 )3n n n n nhy y f f f? ? ? ?? ? ? ? 5 ( 5 )1 1 11 ( ) , ( , )90n n n n nT h y x x??? ? ?? ? ? 不論單步法或多步法，隱式公式比顯式公式穩(wěn)定性好，但在實(shí)際使用隱式公式時(shí)，都會(huì)遇到兩個(gè)問題：一個(gè)是隱式公式如何能方便地進(jìn)行計(jì)算；另一個(gè)是實(shí)際計(jì)算步長取多大。 ? ? 13 ?? 380 ?? 341 ???， 382 ?? 03 ??13nnyy??? 124 ( 2 2 )3 n n nh f f f??? ? ?5 ( 5 )1 3 114 ( ) , ( , )45n n n n nT h y x x??? ? ???、漢明方法及 辛普森方法 ? 同理得到 5個(gè)參數(shù)方程組 。 尤其當(dāng)函數(shù) f比較復(fù)雜時(shí)更能顯出它的優(yōu)越性 。對(duì)上面所說的法一般形 式 若取 ，有 方程組 同樣解之，得到 3步 4階隱式 Adams公式和它的余項(xiàng)。 同樣我們可以將試驗(yàn)方程用到其它各種單步法當(dāng)中，求出其絕對(duì)穩(wěn)定域。 39。 為了簡化討論一 般僅對(duì)試驗(yàn)方程 進(jìn)行考察 。 ) ( )py x h y x h x y h O h? ?? ? ? ?39。 （ 讀者自證 ） ? ?,a x b y? ? ? ? ? ? ? ?相容性和方法階的關(guān)系 若單步法是 p階方法則成立 若單步法滿足相容性條件 ， 得 所以 =0 也就是說單步法的階數(shù)一定要是正數(shù) 。 若成立 ， 則稱該方法是收斂的 。 )n n n ny y h x y hyy?? ???? ??0?h00( ) ( )l im l im ( , 。 ?? ?? ??? ? ?對(duì)于給定的精度 ,如果 ,反復(fù)將步長折半進(jìn)行計(jì)算，直至 為止 ,這時(shí)取最終得到的作為結(jié)果； 如果 ，將反復(fù)將步長加倍，直到 為止，這時(shí)再將步長折半一次，就得到所要的結(jié)果。 通常 ， 同級(jí)的隱式公式獲得比顯式公式更高的階 。 11Ln n i iiy y h k????? ?1,Li n i n i i j jjk f x c h y c h a k???? ? ??????它與顯式 RK公式的區(qū)別在于：顯式公式中對(duì)系數(shù)求和的上限是 i1， 從而構(gòu)成的矩陣是一個(gè)嚴(yán)格下三角陣 。111( ) ( )Ln n n i iiT y x y x h k????? ? ? ?其中 它的局部截?cái)嗾`差是 () 2. 2級(jí) 2階 RungeKutta方法 令 L=2，則 1 1 1 2 2()nny y h k k??? ? ? ?3. 經(jīng)典 RungeKutta方法 我們可以構(gòu)造出一族 3級(jí) 3階，一族 4級(jí) 4階和一族 5級(jí) 4 階等 RK方法。 例： 隱式龍格 庫塔法 ????????????????),...,1()...,(]...[11111mjhKhKyhxfKKKhyymmjjijijmmii?????而 顯式 1~ 4 階方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域?yàn)? ???????????)2,2( 1111KhyhxfKhKyyiiii其中 2階方法 的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域?yàn)? 0 Re Img k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 1 2 3 1 2 3 Re Img 無條件穩(wěn)定 例 1 用歐拉方法 ， 隱式歐拉方法 和 歐拉中點(diǎn)公式 計(jì)算 01( 0 ) 1y y xy? ? ? ? ??? ??的近似解，取步長 h=，并與精確值比較 解 :歐拉方法的算式為： 10( 1 ) 0 , 1 , , 9 .1iiy y h iy? ? ? ?????歐拉隱式方法在本題可解出方程，不必迭代，公式為： 100 , 1 , , 9 .11iiyyihy?? ?????? ??歐拉中點(diǎn)公式是兩步法，第一步 y1用歐拉公式，以后用公式 1102 1 , 2 , , 9 .1i i iy y h y iy??? ? ?????本題精確解為 y=ex,計(jì)算結(jié)果見表 91 例 2 用 歐拉公式 和 梯形公式 的預(yù)估校正法計(jì)算： 的數(shù)值解，取 h=，梯形公式只迭代一次，并與精確值比較 .方程的解析解為 : 201( 0) 1xy y xyy? ? ? ? ? ???? ??xy 21 ??解 : 本例中歐拉公式為： 102 0 . 20 . 1 1 . 1 0 , 1 , , 9 .1iii i i iiixxy y y y iyyy?? ??? ? ? ? ? ?? ??? ??? ??梯形公式只校正一次的格式為 ( 0 )1( 0 ) 111 ( 0 )100 .21 .1220 .0 51iiiiiii i i iiixyyyxxy y y yyyy??????????? ???? ? ? ? ?? ??????????結(jié)果列入表 1. RungeKutta 法的一般形式 2. 2階 RungeKutta 方法 3. 經(jīng)典 RungeKutta 方法 4． RKFehhlberg 方法 5. 隱式 RK方法 6. 變步長方法 龍格－庫塔法深入研究 法的一般形式 RungeKutta 法是用區(qū)間上若干個(gè)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)的線性組合得到平均斜率 ， 以提高方法的階 。 ???????1)0()(30)(yxyxy 精確解 改進(jìn)歐拉法 歐拉隱式 歐拉顯式 節(jié)點(diǎn) xi xey 30?? ?