【正文】 下面再舉例說(shuō)明： 1 3 8 9 8 8 4 9 0 7 1 3 8 9 8 8 4 9 ))87()85()83()81((81211 3 1 1 7 6 0 ))4/3()41((4121)21(2121 :, 1 ]21[],21,0[3))1()0((21 ]1,0[14)(10 d14232321022222212221221 0 2????????????????????????????????ITTffffTTffTTfTTTffTTxxfxxI停止若用復(fù)化梯形公式???李查遜（ Richardson） 外推法 從一個(gè)基本公式出發(fā)，利用加速收斂的技巧，可以構(gòu)造 出收斂速度更快的近似序列，下面的 李查遜（ Richardson） 外推法 就是這樣一種方法。 ? ?mC 2例 8說(shuō)明（續(xù) 2） 例 8說(shuō)明（續(xù) 3） 并且我們的具體做法都是利用 控制結(jié)束的誤差式，構(gòu)成新的，收斂更快的序列 ，而由前面的推導(dǎo)可知，下面這些公式具有如下規(guī)律性： 111111222222222222222221411441511516)(1511411443134)(31??????????????????????mmmmmmmmmmmmmmSSSSSSSTTTTTTT例 8說(shuō)明（續(xù) 4） 類似地，也可以推導(dǎo)出： )(9 4 5)(2),(C o t e s(1411446316364)(631)6(622323322222 111mm fhabCfRCCCCCCCmmmmmmmm???????????? ???公式的誤差估計(jì)式的復(fù)化? ? ? ? ? ? ? ?繼續(xù)下去。 )(1 8 0)d(),()(1 8 0d)(),(:,)(151d)(),(3,1)4(412 22)4(42 22 222222211111???????????????????????????mmbambabafhabSxxfSfRISfhabSxxfSfRISSSSxxfSfRITTTmmmmmmmmmmmmm????：近似積分以誤差為近似積分以（下面推導(dǎo)）同樣關(guān)于時(shí)可結(jié)束計(jì)算而以則當(dāng)若預(yù)先給定復(fù)化 simpson的停止計(jì)算控制 ))()(16)((1 8 0))(1616)((1 8 0))()((1 8 021)4(1)4(41)4(41)4(421411)4()4(422111mmmmmmmhhmmmmmmffhabfhfhabhffhabSShhmmmm????????????? ? ? ????????????????將上兩式相減注意到)227(151),(),(15)(151 8 0)()(112222)4(422)4(1)4(?????????????mmmmmmSSSfRSfRfhabSSffmmmm即：可得由??? Simpson公式的逐次分半法 :,),217(}{15,15,)227(22222211公式但可由復(fù)化也較難但很復(fù)雜梯形的遞推公式公式也可導(dǎo)出類似復(fù)化對(duì)復(fù)化的停機(jī)標(biāo)準(zhǔn)。 4 逐次分半算法 (變步長(zhǎng)方法 ) 用復(fù)化求積公式 （定步長(zhǎng)方法） 必 須要用誤差估計(jì)式對(duì)于預(yù)先給定的精度 給出步長(zhǎng) h或 n,但由于誤差估計(jì)式中要估 計(jì)高階導(dǎo)數(shù)，而這一點(diǎn)往往很困難，因 此實(shí)際計(jì)算時(shí)，常采用 變步長(zhǎng)方法： 逐 步縮小步長(zhǎng)，每次將步長(zhǎng)縮小一半，或 者說(shuō)逐次等分區(qū)間 ,反復(fù)利用復(fù)化求積公 式，直到相鄰兩次計(jì)算結(jié)果相差不大為 止或者滿足給定精度為止。 若用公式 注意這里是將區(qū)間 例 例 7說(shuō)明 例 7的計(jì)算結(jié)果表明，為達(dá)到相同的精度， 用 復(fù)化 Simpson公式 所需的計(jì)算量比復(fù)化梯形公式 少，這也說(shuō)明了 復(fù)化 Simpson公式的精度較高，實(shí) 際計(jì)算時(shí)多采用 復(fù)化 Simpson公式。 故應(yīng)取 n = 2。 由誤差估計(jì)公式不僅可以計(jì)算所求近似值的誤差，反 之，亦可由給定的精度估計(jì)應(yīng)取多大步長(zhǎng)。 （緊接下屏） 1 7 )(7 )(4)(2)()([6d)( 11102/1? ? ?????? ?????banknknkk Sxfxfbfafhxxf復(fù)化 Simpson公式的截?cái)嗾`差 如果 f (x)?C(4)[a, b]， 由式（ 713）可得復(fù)化 Simpson公式的截?cái)嗾`差為： ?? ? ????????????????nkkkkkbanknkkkSxxfhhxfxfbfafhxxffR11)4(4 11102/1],[ )()2(1 8 0)](4)(2)()([6d)()(??因?yàn)?f (4)(x) 連續(xù)，故存在 ??(a, b)， 使得： 1 8 )(7 ),( )()2(1 8 0)( )4(4 bafhabfR S ???? ?? 式 （ 718） 表明，步長(zhǎng) h越小，截?cái)嗾`差越小。 復(fù)化梯形公式的數(shù)值穩(wěn)定性討論 下面簡(jiǎn)單討論復(fù)化梯形公式的 數(shù)值穩(wěn)定性 。定積分存在定理表明，只要被積函數(shù)連續(xù)，當(dāng)小區(qū)間長(zhǎng)度趨于零時(shí)，小梯形面積之和趨于曲邊梯形面積的準(zhǔn)確值，即定積分的準(zhǔn)確值。 在實(shí)驗(yàn)計(jì)算中常用的就是以上三種低階的 NC公式，但若積分區(qū)間比較大，直接使用這 些求積公式，則精度難以保證； 若增加節(jié)點(diǎn)， 就要使用高階的 NC公式，然而前面已指出， 當(dāng) n ? 8時(shí)，由于 NC公式的收斂性和穩(wěn)定性得 不到保證，因此不能采用高階的公式， 事實(shí)上， 增加節(jié)點(diǎn)，從插值的角度出發(fā)，必然會(huì)提高插 值多項(xiàng)式的次數(shù)， Runge現(xiàn)象表明，一般不采 用高次插值，亦即不用高階 NC公式，為提高 精度， 當(dāng)增加求積節(jié)點(diǎn)時(shí)，考慮對(duì)被積函數(shù)用 分段低次多項(xiàng)式近似，由此導(dǎo)出 復(fù)化求積公式 。 NC公式應(yīng)用舉例（續(xù)） 例 5 解 ： 由 梯形公式 （ 79） 得： 由 辛卜生公式 （ 710） 得： 由 柯特斯公式（ 711） 得： 2 4 4 9 7 8 1117132112132179022222 ??????????????????? CI事實(shí)上，積分的 精確值 ： 分別用梯型公式、辛卜生公式 和柯特斯公式計(jì)算積分： ???1 2d11 xxI2 4 4 9 5 4 16 222 ??????????????? SI 12 22 ????????????? TI?11 11 2???? ? a r c tg xxxI 與之相比可以看到，柯特斯公式的結(jié)果最好，具有七位有效數(shù)字；辛卜生公式的結(jié)果次之，具有四位有效數(shù)字；而梯形公式的結(jié)果最差，只有兩位有效數(shù)字。 ??? ???為奇為偶公式的代數(shù)精度實(shí)際上是說(shuō)定理nnnnmCN , 13NC公式應(yīng)用舉例 例 4 驗(yàn)證辛卜生 （ Simpson） 公式 : ?????? ????? )()2(4)(6 bfbafafabS具有三次代數(shù)精度。 )( 0 )( 0 0 )( 0 )()()1][][1)([)1(!)!()1()()1)(1()1()1()!(!)1()()1)(1()1)(()!(!)1()1()()1)(1()1()!(!)1(nknnknnnnknnknnknknnkCdunuknuknuuukknndunukunkunuuknnkduukunkunununknnkCtnudtntktktttknnkC???????????????????????????????????????????????????????????????????，則：令由： 柯特斯系數(shù)并不永遠(yuǎn)都是正的 。 表 71中給了了部分柯特斯系數(shù)。 167。由此得 到的求積公式都是插值型的，其代數(shù)精度均不小于 n次。 是插值型的。在插值中，因 f (x) 不知道，所以無(wú)法估計(jì)插值誤差?？稍O(shè)求積公式具有 n次 代數(shù)精度，去建立 n +1個(gè)方程求解，否則的 話，只設(shè)其具有 0次代數(shù)精度，建立 1個(gè)方程 也可以求出 n +1個(gè)待定參數(shù) . 上述方法稱為待定系數(shù)法，在具有盡可能高的 代數(shù)精度的要求下，利用它可以得出各種求積公式。 解 求積公式中含有三個(gè)待定參數(shù)，可假定近似式（ 73）的代數(shù)精度為 m =2， 則當(dāng) f (x)=1， x， x2 時(shí)，式（ 73）應(yīng) 準(zhǔn)確成立，即有： 代回去可得： )37()()0()()( 101 ?????? ???hfAfAhfAdxxfI hh34,3)(32)(02011112311101hAhAAAAhhAAhAAAh????????????????????????)47()(3)0(34)(3)( ???????hfhfhhfhdxxfhh 公式 （ 74） 不僅對(duì)特殊的次數(shù)不高于 3次 的多項(xiàng)式 f (x) = 1,x,x2, x3準(zhǔn)確成立，而且對(duì)任意次數(shù) 不高于 3次 的多項(xiàng)式 ,a0+a1x+a2x2 + a2x3 （ f (x)=1,x,x2, x3的線性組合 ）也準(zhǔn)確成立，事實(shí)上，令 R( f )表式 （ 74） 的截?cái)嗾`差： ? ? ????? h h hfhfhhfhdxxffR ))(3)0(34)(3()()( 檢查 （ 74） 對(duì) m = 3 是否成立 ， 為此 ， 令 f(x)=x3 代入 （ 74） ， 此時(shí)左邊 。 例 1 .,1.,),(2),(31d,)( .2)(2),(21d,)(.,)11(2d1,1)(, 22233 222222 一次梯形公式的代數(shù)精度為知故由定理不精確成立即公式對(duì)右端左端此時(shí)右端左端時(shí)當(dāng)公式也精確成立右端左端時(shí)當(dāng)此時(shí)公式精確成立右端左端時(shí)當(dāng)對(duì)于梯形公式解xbaababxxxxfabbaababxxxxfabababxxfbababa????????????????????????????同理可證明矩形公式的 代數(shù)精度也是一次的 代數(shù)精度（續(xù) 2） 上述過(guò)程表明，