第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分-wenkub.com
2025-07-29 13:33 本頁(yè)面
【正文】 高斯公式的余項(xiàng) 167。2022/8/18 92 110 0 1 100230 1 0 0 1 10 0 1 1 0 0 1 1 0 1220 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 , , ,2。0 2 1 ( ) ( ) ( )( ) 0nbkkaknx f x d x A f xx????????對(duì)于任意次數(shù)不超過(guò) 的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確成立稱其為帶權(quán)的高斯公式。2022/8/18 87 高斯 勒讓德求積公式 167。這類求積公式稱為高斯公式。2022/8/18 82 牛頓 — 柯特斯型求積公式是封閉型的（區(qū)間 [a,b]的兩端點(diǎn) a, b均是求積節(jié)點(diǎn)）而且要求求積節(jié)點(diǎn)是等距的 ,受此限制，牛頓 — 柯特斯型求積公式的代數(shù)精度只能是 n(n為奇數(shù) )或 n+1(n為偶數(shù) )。 在電子計(jì)算機(jī)上通常采用把區(qū)間逐次二分，反復(fù)利用復(fù)化 求積公式進(jìn)行計(jì)算，直到二分前后兩次積分近似值之差符 合精度要求為止。2022/8/18 46 ? ?1 )(kkxx dxxf ?? ?? ??li liklikk xfCxx0)(1 )()(求積公式階的上作在 C o t e sN e w t o nlxfxx kk ?? )(],[ 1?? ??li likli xfCh0)( )(?ba dxxf )( ? ?????101 )(nkxxkkdxxf由積分的區(qū)間可加性 ? ??? ? ??10 0)( )(nkli likli xfCh復(fù)化求積公式 nI?2022/8/18 47 nba Tdxxf ?? )( ? ??? ???1010)1( )(nk iiki xfCh??????101 )]()([21nkkk xfxfh可得復(fù)化梯形求積公式時(shí),1?l?????? ??? ???)()(2)(211bfxfafhnkk2022/8/18 48 ? ??? ? ??1020 2)2( )(nk iiki xfChnba Sdxxf ?? )(式可得復(fù)化辛普森求積公時(shí),2?l????? ???10121 )]()(4)([61nkkkk xfxfxfh)]()(2)(4)([61110 21 bfxfxfafh nkknk k???? ?????? ?2022/8/18 49 式可得復(fù)化柯特斯求積公時(shí),4?l? ??? ? ??1040 4)4( )(nk iiki xfChnba Cdxxf ?? )()](7)(32)(12)(32)(7[90 110 434241 ??? ???????? ? knk kkkk xfxfxfxfxfh)](7)(14)](32)(12)(32[)(7[901110 434241 bfxfxfxfxfafnab nkknk kkk??????? ?????? ???2022/8/18 50 )]()([2 )( bfafabT ???],[ 10 xx )]()([2 1)0( xfafhT ??],[ 21 xx2)1( hT ? )]()([ 21 xfxf ?],[ 32 xx2)2( hT ? )]()([ 32 xfxf ?],[ 43 xx2)3( hT ? )]()([43 xfxf ?],[ 12 ?? nn xx 2)2( hT n ?? )]()([ 12 ?? ? nn xfxf],[ 1 nn xx ?2)1( hT n ?? )]()([ 1 bfxf n ??2hTn ? ?)([ af ?)(2 1xf ?)(2 2xf?? ?? )(2 1nxf )](bf復(fù)化梯形公式分解 2022/8/18 51 )]()2(4)([6 bfbafafabS ?????],[ 10 xx6)0(hS ?)]()(4)([ 1210xfxfaf ?? ?],[ 21 xx6)1(hS ? )]()(4)([22111 xfxfxf ?? ?],[ 1 nn xx ?6)1(hS n ?? )]()(4)([2111bfxfxf nn ?? ???6hSn ??)([ af ???? ?10 21 )(4nk kxf ????11)(2nkkxf)](bf復(fù)化辛普森公式分解 2022/8/18 52 例 1. ?? 10 s i n dxx xI計(jì)算定積分使用各種復(fù)化求積公式解 : 依次使用 8階復(fù)化梯形公式、 4階復(fù)化辛普森公式和 2階復(fù)化柯特斯公式 給出 n=8的函數(shù)表 0 1 1 )( ii xfx876543210xxxxxxxxxTrapz42133212221112100.xxxxxxxxxSimp????243121141114302104100xxxxxxxxxCotes??????2022/8/18 53 8T ])1()(2)0([161 71?????kk fxff分別由復(fù)化梯形、辛普森、柯特斯公式有 9 4 5 6 9 0 8 ?4S )]1()(2)(4)0([241 3130 21 fxfxffkkk k???? ???? ?9 4 6 0 8 3 3 ??2C)]1(7)(14)](32)(12)(32[)0(7[180 11110 434241 fxfxfxfxffkkk kkk????? ???? ???9 4 6 0 8 3 0 ?2022/8/18 54 8T 9 4 5 6 9 0 8 ?4S 9 4 6 0 8 3 3 ?2C 9 4 6 0 8 3 0 ?積分的精確值為 ?? 10 s in dxx xI ?6 7 1 8 39 4 6 0 8 3 0 7 0 ?精度最高 精度最低 比較三個(gè)公式的結(jié)果 2022/8/18 55 三個(gè)求積公式的余項(xiàng)分別為 )(TR )(12)( 3 ?fab ?????)(SR )()2(1 8 0)4(4 ?fabab ????)(CR )()4(9 4 5)(2 )6(6 ?fabab ????普通的求積公式 復(fù)化求積公式的每個(gè)小區(qū)間 )(12 2 kfhh ???????)(2180 )4(4kfhh ?????????)(49 452 )6(6kfhh ????????? 復(fù)化求積公式的余項(xiàng)和收斂的階 167。 牛頓 柯特斯公式的穩(wěn)定性 (舍入誤差 ) 2022/8/18 38 )()()(,)( 計(jì)算值的近似值作為而以為精確值假設(shè) kkk xfxfxf為誤差)()( kkk xfxf ???)( fIn ????nkknk xfCab0)( )()(記 )( 計(jì)算值的近似值為nI而理論值為 )( fIn ????nkknk xfCab0)( )()(的誤差為與 nn II)()( fIfI nn ? ?????nkkknk xfxfCab0)( )]()([)(2022/8/18 39 nn II ? ????nkknkCab0)()( ?????nkknkCab0)()( ?nn II ?????nknkCab0)()( ? |}m a x {| k?? ?nn II ? ????nknkCab0)()( ? ?)( ab ??10)( ???nknkC性質(zhì)：有若 ,0, )( ??? nkCnk牛頓 柯特斯公式的舍入誤差只是函數(shù)值誤差的 倍)( ab ?公式是穩(wěn)定的時(shí)即 C o t e sN e w t o nCnk nk ???? ,0, )(2022/8/18 40 時(shí) ，公式都是 穩(wěn)
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