【正文】 nbkkakkf x dx A f x nA k nkn???????kk求積公式 含有 個待定參數(shù)x 適當選擇這些參數(shù)使其具有2n +1 次代數(shù)精度。這類求積公式稱為高斯公式。x 是高斯點。定義 4： 2022/8/18 84 00 ( ) ( )( 0 , 1 , , )( ) ( )( ) ( ) 0nbkkakknkkbaf x dx A f xx k nx x xnP x x dx????????????? 定理：插值型求積公式其節(jié)點 是高斯點的充分必要條件是以這些點為零點的多項式 與任意次數(shù)不超過 的多項式P(x) 均正交：2022/8/18 85 0 ( ) ( ) ( )21 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 ( 0 , 1 , , ) , ( ) ( ) 0nbk k kakkbaP x P x xP x x dx A P x xx k nP x x dx?????????????k必要性證明： 設(shè) 是次數(shù)不超過n的多項式則次數(shù)不超過 n＋ 。若x 是高斯點，則有 又因 故有 2 1 f ( x) = P ( x) ( x) + Q ( x) , n ???充分性證明：對一次數(shù)不超過 的多項數(shù)f( x) ,用 （x)除f( x) ，則有2022/8/18 86 000( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 , ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )21b b ba a anbkkakk k knbkkaknbkkakP x x dx f x dx Q x dxQ x dx A Q xx Q x f xQ x dx A f xf x dx A f xn?????? ? ???????? ? ???????由由于所給求積公式是插值型的，故有又由 知 從而有于是可見此求積公式對一切次數(shù)不超過 的k多項式均能準確成立，因此x 為高斯點。2022/8/18 87 高斯 勒讓德求積公式 167。110 ( ) ( ) ()nkkkf x d x A f xx??? ??n+1此為高斯－勒讓德公式，區(qū)間為[ 1 , 1 ] ,勒讓德正交多項式P 的零點就是其高斯點。2022/8/18 88 22101111( ) ( 3 1 ) ,2 3 11 ( ) ( ) ( )33( ) 1 ,P x xf x d x A f A ff x x?? ? ?? ? ???例：取 其兩個零點為 。求積公式為令它對 成立，有01001 11121110 13311( ) .33AAAAA Af x dx f f????????? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??兩點高斯－勒讓德公式2022/8/18 89 2 3 4111111( ) , 2 1 1 2( ) , ( ) ( )33 3311( ) 0 , ( ) ( ) 03311( ) ( ) ( )33f x x x xf x dx f ff x dx f ff x dx f f????? ? ? ?? ? ? ?? ? ????驗證：分別令 , ,則2022/8/18 90 帶權(quán)的高斯公式 167。0 2 1 ( ) ( ) ( )( ) 0nbkkaknx f x d x A f xx????????對于任意次數(shù)不超過 的多項式均能準確成立稱其為帶權(quán)的高斯公式。其中 為權(quán)函數(shù)。2022/8/18 91 212101 ( ) , [ 1 , 1 ]1() ( )1 21c os ( 0 , 1 , , ) .22nkkkkxxxfxdx A f xxkx k nn????? ? ????????????????當 時，所建立的高斯公式稱為高斯－切比雪夫公式。高斯點為n+ 1次切比雪夫多項式的零點。2022/8/18 92 110 0 1 100230 1 0 0 1 10 0 1 1 0 0 1 1 0 1220 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 , , ,2。 32。 ) ( )52。 17kkkx f x dx A f x A f x A f xf x x x xA A x A x Ax A x A x A A x x Ax A x A?? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?????例：構(gòu)造下列形式的高斯公式：解：令它對于 準確成立，得由于（利用第 式，可330 0 1 1 0 1 0 122 2 2, ( ) .9 3 5x A x A x x x A??????????? ? ? ? ? ???將 式化為2022/8/18 93 20 1 0 1 1 0 1 0 1 11 0 1 1 0 1 10 0 1 0 1 0 120 0 1 0 1 0 10102 3 3 42 2 2 2( ) ( ) .5 7 7 9( ) ( )2 2 2 2 2 2 2( ) ( )5 5 3 7 5 3 72 2 2 2 2 2 2( ) ( )7 7 5 9 7 5 9521x x x x A x x x x Ax x A x x x Ax x x x x x xx x x x x x xxxx? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ????????? ? ? ? ? ????????同樣，利用 式化 式，利用 式化 式，分別得； 分別消去上兩個式子 與 ，有0011110 10 9 ( ) ( ) ( )xAxAxx f x dx ff????????? ? ????????????高斯公式是2022/8/18 94 01000( 2 2 )2, , , 2 1( ) , 2 1 ( ) ( ) ( ) R= ( ) ( )()( ) ( ) ( )( 2 2) !nnnbk k k kakknbkkaknb b ba a ax x x nH x nH x dx A H x A f xf x dx A f xff x dx H x dx x dxn????????????? ? ???????? ? ?證：以 為節(jié)點構(gòu)造次數(shù) 次埃爾米特插值多項式 由于高斯公式具有 代數(shù)精度，即有故有在利用積分中值定理即可得證。 高斯公式的余項 167。( 2 2 )20()( ) ( ) ( )( 2 2 )nnbbkkaakfR f x d x A f x x d xn? ???? ? ? ????! 2022/8/18 95 202 2 20( ) ( )2 ( ) ( ) ( ) 0njkkj kjjknbbk i k i k k kaaixxl x n l xxxnl x dx A l x A A l x dx??????? ? ? ? ????? 因 它是 次多項式，故是 次. 由 高斯公式 高斯公式的穩(wěn)定性 167。由本定理及定理 2，則得： 推論 高斯求積公式是穩(wěn)定的 定理 6 高斯求積公式的求積系數(shù) Ak (k=0,1,2… ， n)全是正的 . 證明： 2022/8/18 96 本章作業(yè) P159 12