【正文】 析 , 在 01z z R??內(nèi)不一定解析 , 所以不能化為 z0處的導(dǎo)數(shù) ()01 ( ) .!nfzn 特別地 , 如果 函數(shù) f (z)在 02z z R??內(nèi) 解析 , 那么根據(jù) 柯西 古薩定理 , ? ?0 1 , 2 , ,n? ? ? ?所以 Laurent級(jí)數(shù)包含了 Taylor級(jí)數(shù) . Laurent展開(kāi)式的惟一性定理 定理 設(shè)函數(shù) f (z)在圓環(huán)域 1 0 2R z z R? ? ?內(nèi)解析 , 并且可以展開(kāi)成雙邊冪級(jí)數(shù) 0( ) ,nnnc z z?? ? ?? ??則 其中 C 101 ( ) d ( 0 , 1 , 2 , ) ,2 ( )n nCfzc z ni z z? ?? ? ? ? ???的正向 . 0 1 2 ( )z z R R R R? ? ? ?是圓周 注 函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi) Laurent展開(kāi)式是惟一的 . 因此 為函數(shù)展開(kāi)成 Laurent級(jí)數(shù)的間接方法奠定了基礎(chǔ) . 將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展開(kāi)成 Laurent級(jí)數(shù) , 理論 (1) 直接方法 直接 計(jì)算展開(kāi)式系數(shù) 然后寫(xiě)出 Laurent展開(kāi)式 .)()( 0 nnn zzczf ?? ?????這種方法只有理論意義 , 而沒(méi)有實(shí)用價(jià)值 . 就是 上應(yīng)該有兩種方法 : 直接方法與間接方法 . 101 ( ) d ( 0 , 1 , 2 , ) ,2 ( )n nCfzc z ni z z? ?? ? ? ???說(shuō) , 只有在進(jìn)行理論推導(dǎo)時(shí) , 才使用這種表示方法 . 根據(jù)解析函數(shù) Laurent 級(jí)數(shù)展開(kāi)式的惟一性 , 可運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去將 函數(shù)展開(kāi)成 Laurent 級(jí)數(shù) . (2) 間接方法 這是將函數(shù)展開(kāi)成 Laurent 級(jí)數(shù)的 常用方法 . 給定函數(shù) )(zf 與復(fù)平面內(nèi)的一點(diǎn) 0z 以后 , 函 數(shù)在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的 Laurent展開(kāi)式 (包括 Taylor展開(kāi)式作為特例 ). 這與 Laurent展開(kāi)式 的惟一性并不矛盾 , 在同一圓環(huán)域內(nèi)的展開(kāi)式惟一 . ( 1 ) 0 1。z??( 2 ) 1 2 。z??( 3 ) 2 。z? ? ? ?內(nèi)展開(kāi)成 Laurent級(jí)數(shù) . 例 將函數(shù) 1 ( ) ( 1 ) ( 2 )fz zz? ??在圓環(huán)域 ( 4 ) 0 1 1z? ? ?處都解析 , 并且可分解為 11( ) .12fz zz???? 典型例題 函數(shù) f (z)在 z=1和 z=2處不解析 , 在其它點(diǎn) 解 運(yùn)行下面的 MATLAB語(yǔ)句 . clear symsz。 f=1/((z1)*(z2))。 [n,d]=numden(f)。 % 表示分子和分母 expand(d) % 展開(kāi)分母ans=z^23*z+2 P=[1]。Q=[1,3,2]。 % 按系數(shù)輸入分子和分母 [R,p]=residue(P,Q) % 將函數(shù)展開(kāi)成部分分式o x y 1 (1) 在 內(nèi) , 有 則 1z ? 1,2z ?21 1,1nz z zz ? ? ? ? ? ?? 22 3 11 1 1 1.2 2 2 2 212nnz z zzzz ?? ? ? ? ? ? ? ???22231( ) ( 1 )2 2 2zzf z z z ??? ? ? ? ? ? ? ?????21 3 7 .2 4 8zz? ? ? ?于是在 內(nèi)， 01z??1 2 o x y zzz 111111????? 21 1 11,z z z??? ? ? ? ?????1?z 1 1,z ?2?z z ??????2112121zz221 1.2 2 2 2nnz z z??? ? ? ? ?????(2) 在 內(nèi) , 有 12z??2221 1 1 1 ( ) 1 12 2 2zzfzz z z????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ??2 o x y 2?z 1 1,z ?于是在 內(nèi) , 12z??1 2 11 1 1 1 .22nn n nzzz z z z??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(3) 在 內(nèi) , 有 2z ?2?z 2 ?231 1 1 1 1 1,11 1z z z z zz? ? ? ? ? ? ? ?? ?21 1 1 1 2 41.221z z z z zz? ??? ? ? ? ? ? ???? ???于是在 內(nèi) , 2 z? ? ??2 3 2 31 2 4 1 1 1()fzz z z z z z? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 3 41 3 7 .zzz? ? ? ?2 o x y . 1 (4) 由 知 , 0 1 1z? ? ?0 1,z ? 展開(kāi)的級(jí)數(shù)形式應(yīng)為 ( 1 ) ,nnncz??? ????1 1 1 1 1()( 1 ) ( 2 ) 2 1 1 1 1fz z z z z z z? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?01 1 1( 1 ) .1 ( 1 ) 1 1nnzz z z??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??所以在 內(nèi) , 0 1 1z? ? ?例 將函數(shù) 21() ( 2 ) ( 3 )fz zz? ??在區(qū)域 0 2 1z? ? ?內(nèi)展開(kāi)成 Laurent級(jí)數(shù) . 解 因?yàn)樵? 0 2 1z? ? ?內(nèi)展開(kāi) , 所以 0 2,z ?展開(kāi)的級(jí)數(shù)形式應(yīng)為 ( 2 ) .nnncz??? ? ??? 因?yàn)? 1 1 13 ( 2 ) 1 1 ( 2 )z z z? ? ?? ? ? ? ?? ?0( 2 ) 2 1 ,nnzz??? ? ? ? ??2011 ( 2 )( 3 ) 3nnzzz???? ????? ? ? ??? ???? ?? ???? ?11 2 ( 2) ( 2) 2 1 ,nz n z z?? ? ? ? ? ? ? ? ?所以在 內(nèi) , 0 2 1z? ? ?21()( 2 ) ( 3 )fz zz? ??11 1 2 ( 2 ) ( 2 )2nz n zz???? ? ? ? ? ? ????21( 2 ) .nnnz???????例 將 ? ?12 zf z z e?在 0 z? ? ??內(nèi)展開(kāi) 為 Laurent級(jí)數(shù) . 解 除 z=0點(diǎn)之外 , f (z)在復(fù)平面內(nèi)處處解析 , 對(duì)任何復(fù)數(shù) ? , 21,2 ! !ne n? ???? ? ? ? ? ?于是在 內(nèi) , 0 z? ? ??1 22 2 1( ) 12 ! !nz zzf z z e z zn?????? ? ? ? ? ? ?????12 1 .2 ! 3 ! !nzzzz n??? ? ? ? ? ? ?第四章 完