【正文】 ??????????????????????hAAhhAhAAAhAhAhAAA31623200411321211111101)()()( 解得 hAhAA 3438 011 ????? ,上頁 下頁 得 求積公式 為 令 f (x)=x3，得 )()()(d)( hhfhfhhfxxfI hh 380343822????? ??0380 33223 ????? ??])[(d hhhxxhh令 f (x)=x4，得 544224531638564 hhhhxxh hh????? ??])[(d故 求積公式 具有 3次代數(shù)精度 . 上頁 下頁 如果我們事先選定求積節(jié)點(diǎn) xk，譬如，以區(qū)間[a, b]的等距分點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，這時(shí)取 m=n求解方程組即可確定求積系數(shù) Ak，而使求積公式至少具有 n次代數(shù)精度 . 本章第 2節(jié)介紹這樣一類求積公式，梯形公式是其中的一個(gè)特例 . 如為了構(gòu)造出上面的求積公式，原則上是一個(gè)確定參數(shù) xk和 Ak的代數(shù)問題 . 方程組 ()實(shí)際上是一2n+2個(gè)參數(shù)的非線性方程組，此方程組當(dāng) n1時(shí)求解非常困難，但當(dāng) n=0及 n=1的情形還是可以通過求解方程組得到相應(yīng)的求積公式 . 下面對(duì) n=0討論求積公式的建立及代數(shù)精確度 . 上頁 下頁 此時(shí)求積公式為 00( ) ( ) d ( ) ,baI f f x x A f x???其中， x0及 A0為待定參數(shù) . 根據(jù)代數(shù)精確度定義可令 f(x)=1, x，由方程組知 . 022001()2A b aA x b a?????????得 001, ( ) .2A b a x a b? ? ? ?得到的求積公式就是 ()式的中矩形公式 . 再令f(x)=x2，代入 ()式的第三式 上頁 下頁 22 2 2 3 3001( ) ( ) ( ) .2 4 3baa b b aA x b a a b x d x b a????? ? ? ? ? ? ????? ?說明 ()式對(duì) f(x)=x2不精確成立，故它的代數(shù)精確度為 1. 方程組 ()是根據(jù) ()式的求積公式得到的，按照代數(shù)精確度的定義，如果求積公式中除了 f(xi)還有 ??(x)在某些節(jié)點(diǎn)上的值，也同樣可得到相應(yīng)的求積公式 . 上頁 下頁 例 1 給定形如下面的求積公式，試確定系數(shù) A0, A1, B0,，使公式具有盡可能高的代數(shù)精確度 . 10 1 00 ( ) d ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) .f x x A f A f B f ?? ? ?? 解 根據(jù)題意可令 f(x)=1, x, x2分別代入求積公式使它精確成立： 1010110012101 d 1 。21d.3A A xA B x xA x x?? ? ????? ? ???????????上頁 下頁 解得 0 1 02 1 1, , .3 3 6A A B? ? ?102 1 1( ) d ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) .3 3 6f x x f f f?? ? ??當(dāng) f(x)=x3時(shí)，上式右端為 1/3，而左端是 于是有求積公式 故積分公式對(duì) f(x)=x3不精確成立，其代數(shù)精確度為 2. 1 301d4xx ??上頁 下頁 插值型的求積公式 設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn) bxxxxa nn ?????? ? 110 ?且已知 f(x)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值 f(xk), 則可求得 f(x)的拉格朗日插值多項(xiàng)式 (因?yàn)?Ln(x)的原函數(shù)易求 ) ???nkkkn xlxfxL0)()()(其中 lk(x)為插值基函數(shù) , 取 0( ) d ( ) ( )( ( ) d 0, 1 , , ) ( )nbk k nakbkkaI f x x A f x IA l x x k n?? ? ??????由上式確定系數(shù)的公式稱為 插值型求積公式 . xxLxxf ba nba d)(d)( ?? ?即 則 f (x)?Ln(x) 上頁 下頁 插值型求積公式積分法幾何表示 上頁 下頁 由插值余項(xiàng)定理 , 其求積余項(xiàng)為 ( ) [ ( ) ( ) ] d ( ) ( 1. 7 )bbn n naaR f I I f x L x x R x dx? ? ? ? ???( 1 )0() ( ) d( 1 ) !n nbkakf x x xn?????? ?? 其中 ?=?(x) 如果求積公式 ()是插值型的，按照插值余項(xiàng)式子，對(duì)于次數(shù)不超過 n的多項(xiàng)式 f(x)，其余項(xiàng) R(f )等于零，因而 這時(shí)求積公式至少具有 n次代數(shù)精度 . 上頁 下頁 反之，如果求積公式至少具有 n次代數(shù)精度，則它必定是插值型的 . 事實(shí)上，這時(shí)求積公式對(duì)于插值基函數(shù) lk(x)應(yīng)準(zhǔn)確成立，即有 0( ) ( ) .nbk j k j kajl x d x A l x A?????注意到 lk(xj)= ?kj，上式右端實(shí)際上即等于 Ak，因而下面式子成立 . .,1,0d)( nkxxlA ba kk ??? ?上頁 下頁 定理 1 具有 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值求積公式 () ? ???? bankkk xfAxxfI0)(d)(是 插值型求積公式 的 充要條件 為 : 該公式 至少具有 n次代數(shù)精度 . 綜上所述，我們有結(jié)論為 這時(shí)令 f(x)=1代入又有結(jié)論為 結(jié)論 對(duì)插值型求積公式的系數(shù)必有 0.n bk akA d x b a?? ? ?? ?上頁 下頁 求積公式的余項(xiàng) 若求積公式 ()的代數(shù)精確度為 m，則由求積公式余項(xiàng)的表達(dá)式 ()可以證明余項(xiàng)形如 ( 1 )0[ ] ( ) ( ) ( ) , ( , ) ( 1 . 8 )nbmkkakR f f x d x A f x K f a b????? ? ? ???其中 K為不依賴于 f(x)的待定參數(shù) . 這個(gè)結(jié)果表明當(dāng)f(x)是次數(shù)小于等于 m的多項(xiàng)式時(shí)，由于 f (m+1)(x)=0，故此時(shí) R[ f ]=0，即求積公式 () 精確成立 . 而當(dāng)f(x)=xm+1時(shí)， f (m+1)(x)=(m+1)!， ()式左端 R[f]?0，故可求得 上頁 下頁 1102 2 101( 1 ) !11( ) . ( 1 .9 )( 1 ) ! 2nbmmkkaknm m mkkkK x d x A xmb a A xmm???? ? ?????? ??? ????? ? ????? ?????代入余項(xiàng)公式 ()式可以得到更細(xì)致的余項(xiàng)表達(dá)式 . 例如梯形公式 ()的代數(shù)精確度為 1，可以證明它的余項(xiàng)表達(dá)式為 [ ] ( ) , ( , ) .R f K f a b??????其中 3 3 2 2 3 31 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) .2 3 2 2 6 1 2baK b a a b b a b a?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?于是得到梯形公式 ()的余項(xiàng)為 3()[ ] ( ) , ( , ) . ( 0 )12baR f f a b??? ??? ? ?上頁 下頁 對(duì)中矩形公式 ()，其代數(shù)精確度為 1，可以證明它的余項(xiàng)表達(dá)式為 [ ] ( ) , ( , ) .R f K f a b??????其中 23 3 31 1 1( ) ( ) ( ) .2 3 2 2 4abK b a b a b a?? ???? ? ? ? ? ??? ??????于是得到中矩形公式 ()的余項(xiàng)為 3()[ ] ( ) , ( , ) . ( 1 )24baR f f a b??? ??? ? ?上頁 下頁 例 2 求例 1中求積公式 102 1 1( ) d ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) .3 3 6f x x f f f ?? ? ??的余項(xiàng) . 解 由于此求積公式的代數(shù)精確度為 2，故余項(xiàng)表達(dá)式為 R[?]=K????(η)，令 f(x)=x3，得 ????(η)=3! ，于是有 1301 2 1 1( 0 ) ( 1 ) ( 0 )3 ! 3 3 61 1 1 1.3 ! 4 3 7 2K x d x f f f?????? ? ? ???????????? ? ? ??????故得 1[ ] ( ) , ( 0, 1 ) .72R f f ?????? ? ?上頁 下頁 其中 h=max(xixi1)，則稱求積公式 ()是 收斂的 . 求積公式的收斂性與穩(wěn)定性 定義 2 在求積公式 ()中，若 ? ??? ???nkbakkhndxxfxfA00.)()(lim 在求積公式 ()中，由于計(jì)算 f(xk)可能產(chǎn)生誤差 δk，實(shí)際得到 ，即 . 記 kkk fxf ???~)(kf~00( ) ( ) , ( ) .nnn k k n k kkkI f A f x I f A f??????如果對(duì)任給小正數(shù) ? 0，只要誤差 |?k|充分小就有 0( ) ( ) [ ( ) ] , ( 1 . 1 2)nn n k k kkI f I f A f x f ??? ? ? ??它表明求積公式 ()計(jì)算是 穩(wěn)定的 ，由此給出 上頁 下頁 定義 3 對(duì)任給小正數(shù) ? 0，若存在 ? 0，只要 就有 ()式成立，則稱求積公式 ()是 穩(wěn)定的 . ( ) ( 0 , 1 , , ) ,kkf x f k n?? ? ? 證明 對(duì)任給 ? 0, 若取 ?= ? /(ba), 對(duì)所有 k都有 故求積公式 ()是穩(wěn)定的 . 證畢 . 定理 2 若求積公式 ()中所有系數(shù) Ak0，則此求積公式是穩(wěn)定的 . 000( ) ( ) [ ( ) ]( ) ( ) .nn n k k kknnk k k kkkI f I f A f x fA f x f A b a? ? ????? ? ?? ? ? ? ? ????則有 ),1,0(~)( nkfxf kk ???? ? 定理 2表明只要求積系數(shù) Ak0 ，就能保證計(jì)算的穩(wěn)定性 . 上頁 下頁 牛頓 — 柯特斯公式 為便于上機(jī)計(jì)算，通常在內(nèi)插求積公式中我們通常取等距節(jié)點(diǎn)，即將積分區(qū)間 [a,b]劃分 n等分，即令步長 h=(ba)/n，且記 x0=a, xn=b，則節(jié)點(diǎn)記為xk=x0+kh(k=0,1,… n)，然后作變換 : t=(xx0)/h, 代入求積系數(shù)公式，將會(huì)簡化計(jì)算 . 上頁 下頁 柯特斯系數(shù)與辛普森公式 設(shè)將積分區(qū)間 [a, b]劃分成 n等分 ,步長 h= ,nab?求積節(jié)點(diǎn)取為 xk=a+kh (k = 0,1,?,n),由此構(gòu)造插值型求積公式 , 則其求積系數(shù)為 ( ) d dbb jkkaa jkkjxxA l x x xxx????????引入變換 x = a + th, 則有 00( 1 )d ( ) d!( ) !nknnnnkj k j kt j b aA h t t j tk j n k n k????? ?? ? ? ?????(k=0,1,?, n) (k=0,1,?, n) 上頁 下頁 其中 () 0( 1 ) ( ) d . ( 2 . 2 )! ( ) !nk nnnkjkC t j tnk n k?????? ??記 ,)( )( nkk