【正文】 定理表明在 [a, b]上帶權(quán) ?(x)的 n+1次正交多項式的零點就是求積公式 ()的高斯點，有了求積節(jié)點xk(k=0,1,?,n)，再利用 ()對 m=0,1,?,n成立，則得到一組關(guān)于求積系數(shù) Ak(k=0,1,?,n)的線性方程組 . 解此方程組則得 Ak(k=0,1,?,n). 也可直接由 xk(k=0,1,?,n)的插值多項式求出求積系數(shù) Ak(k=0,1,?,n). ( ) ( ) ( 0 , 1 , , ) .bkk aA l x x d x k n????上頁 下頁 例 9 確定求積公式 10 0 1 10 ( ) d ( ) ( ) .x f x x A f x A f x???節(jié)點 x0, x1及系數(shù) A0, A1，使它具有最高代數(shù)精度 . 解 具有最高代數(shù)精度的求積公式是高斯型求積公式，其節(jié)點為關(guān)于權(quán)函數(shù) ?(x)= x1/2的正交多項式零點 x0及 x1，設(shè) 201( ) ( ) ( )x x x x x x 。故類似于求 ()式的余項可得到 柯特斯公式的余項 為 6 ( 6 )2 ( )[ ] ( ) ( ) , ( , ) . ( 2 .6 )9 4 5 4b a b aR f f a b????? ? ?上頁 下頁 解 ： 由梯形公式得 221 0 . 6 1 1[ ] 0 . 2 4 7 0 5 8 82 1 0 . 6 1 1IT?? ? ? ???由辛普森公式得 2 2 21 0 . 6 1 1 1[ 4 ] 0 . 2 4 4 9 5 4 66 1 0 . 6 1 0 . 8 1 1IS?? ? ? ? ? ?? ? ? 例題 分別用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式計算積分 120 . 61 d1Ixx? ??上頁 下頁 由柯特斯公式得 11213217[90222 ??????????? CI22113 2 7 ] 0 . 2 4 4 9 7 8 71 0 . 9 1 1? ? ? ? ???積分的精確值 24 497 86 c t and1 111 2 ???? ? xxxI上頁 下頁 復(fù)合求積公式 從求積公式的余項的討論中我們看到，被積函數(shù)所用的插值多項式次數(shù)越高，對函數(shù)光滑性的要求也越高 . 另一方面，插值節(jié)點的增多 (n的增大 )，在使用牛頓 柯特斯公式時將導(dǎo)致求積系數(shù)出現(xiàn)負數(shù) (當 n≥8時 , 牛頓 柯特斯求積系數(shù)會出現(xiàn)負數(shù) )，即牛頓 柯特斯公式是不穩(wěn)定的，不可能通過提高階的方法來提高求積精度 . 上頁 下頁 為了提高精度，通常在實際應(yīng)用中往往采用 將積分區(qū)間劃分成若干個小區(qū)間，在各小區(qū)間上采用低次的求積公式 (梯形公式或拋物形公式 )，然后再利用積分的可加性，把各區(qū)間上的積分加起來，便得到新的求積公式，這就是 復(fù)合求積公式 的基本思想 . 為敘述方便，我們僅討論各小區(qū)間均采用同一低次的求積公求積公式，也可推出新的求積公式，讀者可按實際問題的具體情況討論 . 上頁 下頁 將積分區(qū)間 [a, b]n等分 , 步長 n abh ?? xk=a+kh (k=0,1,…, n) , 則由定積分性質(zhì)知 110( ) d ( ) dkknbxax kI f x x f x x????? ???, 分點為 每個子區(qū)間 上的積分 用 低階求積公式 , 然后把所有區(qū)間的 計算結(jié)果求和 ,就得到整個區(qū)間上積分 I的近似值。 例 1 驗證梯形公式 )]()([2d)( bfafabxxfI ba ???? ?具有一次代數(shù)精度。上頁 下頁 第 4章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 ? 數(shù)值積分概論 ? 牛頓 — 柯特斯公式 ? 復(fù)合求積公式 ? 龍貝格求積公式 ? 自適應(yīng)求積方法 ? 高斯求積公式 ? 多重積分 ? 數(shù)值微分 本章基本內(nèi)容 上頁 下頁 進行計算，但在工程計算和科學(xué)研究中，經(jīng)常會遇到被積函數(shù) f(x)的下列一些情況： 的原函數(shù) )()(d)( aFbFxxfI ba ??? ?對定積分 ?? ba xxfI d)( 的被積函數(shù) )(xf已知，在高等數(shù)學(xué)中可用牛頓 — 萊布尼茲公式 )(xF 數(shù)值積分概論 實際問題當中常常要計算積分，有些數(shù)值方法，如微分方程和積分方程的求解，也都和積分計算相聯(lián)系 . 數(shù)值求積的基本思想 上頁 下頁 （ 4） f(x)本身沒有解析表達式，其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形給出，列如為實驗或測量數(shù)據(jù) . xxxexxf x s i ns i nln1)( 22 , , , ??（ 2） f(x)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)形式表示，例如 411)(xxf??（ 3） f(x)的原函數(shù)雖然可用初等函數(shù)形式表示，但其原函數(shù)表示形式相當復(fù)雜，例如 cbxaxxf ??? 2)(（ 1） f(x)復(fù)雜，求原函數(shù)困難，列如 上頁 下頁 以上的 4種情況都不能用牛頓 — 萊布尼茲公式方便地計算該函數(shù)的定積分，滿足不了實際需要，因此，有必要研究定積分的數(shù)值計算問題；另外，對一些函數(shù)的求導(dǎo)問題，其求導(dǎo)、微分也相當復(fù)雜，也有必要研究求導(dǎo)、微分的數(shù)值計算問題。 結(jié)論 一個求積公式具有 m次代數(shù)精度的 充要條件 是該求積公式 : (1) 對 xk(k=0,1,…,m )精確成立； (2) 對 xm+1不精確成立 . 故一般地，要驗證一個求積公式具有 m次代數(shù)精度，只要令對于 f(x)=1, x, ?, xm求積公式精確成立等式就行 . 上頁 下頁 即對于求積公式 給定 n+1個互異的求積節(jié)點 x0 , x1,?, xn1, xn , 令求積公式對 f(x)=1, x, ?, xn 精確成立 ,即得 01220 0 1 1110 0 1 12( 1. 4 )1nnnnnn n nnnA A A b abaA x A x A xbaA x A x A xn??? ? ? ? ?????? ? ? ??????? ? ? ? ???求解該方程組即可確定求積系數(shù) Ak, 所得到的求積公式 至少具有 n 次代數(shù)精度 . nkbankk IxfAxxfI ??? ? ??)(d)(0上頁 下頁 解 當 f (x)=1時 , 1 d ,ba x b a? ? ??左[ 1 1 ] ,2ba ba?? ? ? ?右 此時公式精確成立。21d.3A A xA B x xA x x?? ? ????? ? ???????????上頁 下頁 解得 0 1 02 1 1, , .3 3 6A A B? ? ?102 1 1( ) d ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) .3 3 6f x x f f f?? ? ??當 f(x)=x3時，上式右端為 1/3，而左端是 于是有求積公式 故積分公式對 f(x)=x3不精確成立，其代數(shù)精確度為 2. 1 301d4xx ??上頁 下頁 插值型的求積公式 設(shè)給定一組節(jié)點 bxxxxa nn ?????? ? 110 ?且已知 f(x)在這些節(jié)點上的函數(shù)值 f(xk), 則可求得 f(x)的拉格朗日插值多項式 (因為 Ln(x)的原函數(shù)易求 ) ???nkkkn xlxfxL0)()()(其中 lk(x)為插值基函數(shù) , 取 0( ) d ( ) ( )( ( ) d 0, 1 , , ) ( )nbk k nakbkkaI f x x A f x IA l x x k n?? ? ??????由上式確定系數(shù)的公式稱為 插值型求積公式 . xxLxxf ba nba d)(d)( ?? ?即 則 f (x)?Ln(x) 上頁 下頁 插值型求積公式積分法幾何表示 上頁 下頁 由插值余項定理 , 其求積余項為 ( ) [ ( ) ( ) ] d ( ) ( 1. 7 )bbn n naaR f I I f x L x x R x dx? ? ? ? ???( 1 )0() ( ) d( 1 ) !n nbkakf x x xn?????? ?? 其中 ?=?(x) 如果求積公式 ()是插值型的，按照插值余項式子，對于次數(shù)不超過 n的多項式 f(x)，其余項 R(f )等于零，因而 這時求積公式至少具有 n次代數(shù)精度 . 上頁 下頁 反之，如果求積公式至少具有 n次代數(shù)精度，則它必定是插值型的 . 事實上，這時求積公式對于插值基函數(shù) lk(x)應(yīng)準確成立，即有 0( ) ( ) .nbk j k j kajl x d x A l x A?????注意到 lk(xj)= ?kj，上式右端實際上即等于 Ak，因而下面式子成立 . .,1,0d)( nkxxlA ba kk ??? ?上頁 下頁 定理 1 具有 n+1個節(jié)點的數(shù)值求積公式 () ? ???? bankkk xfAxxfI0)(d)(是 插值型求積公式 的 充要條件 為 : 該公式 至少具有 n次代數(shù)精度 . 綜上所述，我們有結(jié)論為 這時令 f(x)=1代入又有結(jié)論為 結(jié)論 對插值型求積公式的系數(shù)必有 0.n bk akA d x b a?? ? ?? ?上頁 下頁 求積公式的余項 若求積公式 ()的代數(shù)精確度為 m，則由求積公式余項的表達式 ()可以證明余項形如 ( 1 )0[ ] ( ) ( ) ( ) , ( , ) ( 1 . 8 )nbmkkakR f f x d x A f x K f a b????? ? ? ???其中 K為不依賴于 f(x)的待定參數(shù) . 這個結(jié)果表明當f(x)是次數(shù)小于等于 m的多項式時，由于 f (m+1)(x)=0，故此時 R[ f ]=0，即求積公式 () 精確成立 . 而當f(x)=xm+1時， f (m+1)(x)=(m+1)!， ()式左端 R[f]?0，故可求得 上頁 下頁 1102 2 101( 1 ) !11( ) . ( 1 .9 )( 1 ) ! 2nbmmkkaknm m mkkkK x d x A xmb a A xmm???? ? ?????? ??? ????? ? ????? ?????代入余項公式 ()式可以得到更細致的余項表達式 . 例如梯形公式 ()的代數(shù)精確度為 1，可以證明它的余項表達式為 [ ] ( ) , ( , ) .R f K f a b??????其中 3 3 2 2 3 31 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) .2 3 2 2 6 1 2baK b a a b b a b a?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?于是得到梯形公式 ()的余項為 3()[ ] ( ) , ( , ) . ( 0 )12baR f f a b??? ??? ? ?上頁 下頁 對中矩形公式 ()，其代數(shù)精確度為 1，可以證明它的余項表達式為 [ ] ( ) , ( , ) .R f K f a b??????其中 23 3 31 1 1( ) ( ) ( ) .2 3 2 2 4abK b a b a b a?? ???? ? ? ? ? ??? ??????于是得到中矩形公式 ()的余項為 3()[ ] ( ) , ( , ) . ( 1 )24baR f f a b??? ??? ? ?上頁 下頁 例 2 求例 1中求積公式 102 1 1( ) d ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) .3 3 6f x x f f f ?? ? ??的余項 . 解 由于此求積公式的代數(shù)精確度為 2，故余項表達式為 R[?]=K????(η)，令 f(x)=x3，得 ????(η)=3! ，于是有 1301 2 1 1(