【正文】 后，余項(xiàng)便取下列形式 這種處理方法通常稱(chēng)為 理查森 (Richardson)外推加速方法 . 上頁(yè) 下頁(yè) ( ) ( 1 ) ( )1141 1 , 2, . ( 4. 11 )4 1 4 1mk k km m mmmT T T k???? ? ???公式 ()也稱(chēng)為 龍貝格求積算法 . 以 Ｔ 0(k)表示二分 k次后求得的梯形值，以 Ｔ m(k)表示序列 {Ｔ 0(k)}的 m次加速值 ，則依遞推公式 ()可到 上頁(yè) 下頁(yè) 龍貝格求積算法 的 計(jì)算過(guò)程 如下： (1) 取 k=0,h=ba，求 ) ] .()([2)0(0 bfafhT ??令 1→ k(k記區(qū)間 [a, b]的二分次數(shù) ). (2) 求值 ，按梯形遞推公式計(jì)算 Ｔ 0(k) . ?????? ?k abT 20 (3) 求計(jì)算值，按加速公式逐個(gè)求出 Ｔ 數(shù)表 的第k行其余各元素 Ｔ j(kj) (j=1,2,?,k). (4) 若 |Ｔ k(0) Ｔ k1(0)|?(預(yù)先給定的精度 )，則終止計(jì)算，并取 Ｔ k(0)? I。 當(dāng) f(x)=x時(shí)， ? ?221d 2ba x x b a? ? ??左22[]22b a b aab??? ? ?右公式也精確成立 . 當(dāng) f(x)= x2 時(shí)， ? ?2 3 31d 3ba x x b a? ? ??左22[ ],2ba ab???右公式對(duì) x2不精確成立 . 故由定理 1知 , 梯形公式的代數(shù)精度為 1次 . 上頁(yè) 下頁(yè) 例 2 確定求積公式中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精度 . )()()(d)( hfAfAhfAxxfI h h 102 2 1 0 ????? ?? ? 解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式兩端并令其相等，得 ????????????????????????????hAAhhAhAAAhAhAhAAA31623200411321211111101)()()( 解得 hAhAA 3438 011 ????? ,上頁(yè) 下頁(yè) 得 求積公式 為 令 f (x)=x3，得 )()()(d)( hhfhfhhfxxfI hh 380343822????? ??0380 33223 ????? ??])[(d hhhxxhh令 f (x)=x4，得 544224531638564 hhhhxxh hh????? ??])[(d故 求積公式 具有 3次代數(shù)精度 . 上頁(yè) 下頁(yè) 如果我們事先選定求積節(jié)點(diǎn) xk，譬如，以區(qū)間[a, b]的等距分點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，這時(shí)取 m=n求解方程組即可確定求積系數(shù) Ak，而使求積公式至少具有 n次代數(shù)精度 . 本章第 2節(jié)介紹這樣一類(lèi)求積公式，梯形公式是其中的一個(gè)特例 . 如為了構(gòu)造出上面的求積公式，原則上是一個(gè)確定參數(shù) xk和 Ak的代數(shù)問(wèn)題 . 方程組 ()實(shí)際上是一2n+2個(gè)參數(shù)的非線(xiàn)性方程組，此方程組當(dāng) n1時(shí)求解非常困難，但當(dāng) n=0及 n=1的情形還是可以通過(guò)求解方程組得到相應(yīng)的求積公式 . 下面對(duì) n=0討論求積公式的建立及代數(shù)精確度 . 上頁(yè) 下頁(yè) 此時(shí)求積公式為 00( ) ( ) d ( ) ,baI f f x x A f x???其中， x0及 A0為待定參數(shù) . 根據(jù)代數(shù)精確度定義可令 f(x)=1, x，由方程組知 . 022001()2A b aA x b a?????????得 001, ( ) .2A b a x a b? ? ? ?得到的求積公式就是 ()式的中矩形公式 . 再令f(x)=x2，代入 ()式的第三式 上頁(yè) 下頁(yè) 22 2 2 3 3001( ) ( ) ( ) .2 4 3baa b b aA x b a a b x d x b a????? ? ? ? ? ? ????? ?說(shuō)明 ()式對(duì) f(x)=x2不精確成立，故它的代數(shù)精確度為 1. 方程組 ()是根據(jù) ()式的求積公式得到的，按照代數(shù)精確度的定義，如果求積公式中除了 f(xi)還有 ??(x)在某些節(jié)點(diǎn)上的值，也同樣可得到相應(yīng)的求積公式 . 上頁(yè) 下頁(yè) 例 1 給定形如下面的求積公式，試確定系數(shù) A0, A1, B0,，使公式具有盡可能高的代數(shù)精確度 . 10 1 00 ( ) d ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) .f x x A f A f B f ?? ? ?? 解 根據(jù)題意可令 f(x)=1, x, x2分別代入求積公式使它精確成立： 1010110012101 d 1 。 上頁(yè) 下頁(yè) 由積分中值定理 , 對(duì)連續(xù)函數(shù) f(x), 在區(qū)間 [a, b]內(nèi)至少存在一點(diǎn) ?，使 ? ??? ba fabxxfI )()(d)( ?只要對(duì)平均高度 f(?) 提供一種 近似算法 , 便可相應(yīng)地獲得一種 數(shù)值求積方法 . 即所謂 矩形公式 . xyOa b? ?fx? ?f ??上頁(yè) 下頁(yè) 例如 , 用區(qū)間 [a, b]兩端點(diǎn)的函數(shù)值 f(a)與 f(b)的算術(shù)平均值作為 f(?) 的近似值 , 可導(dǎo)出 求積公式 ( ) d [ ( ) ( ) ] ( 1 . 1 )2babaI f x x f a f b?? ? ??這便是人們所熟知的 梯形公式 . xyOa b? ?fx? ?fa? ?fb上頁(yè) 下頁(yè) 如果改用區(qū)間 [a, b]的中點(diǎn) c=(a?b)/2 處的函數(shù)值f(c)近似代替 f(?), 則又可導(dǎo)出所謂 (中 )矩形公式 ( ) d ( ) ( 1 . 2)2baabI f x x b a f ???? ? ??????xyOa b? ?fx2abf ???????2ab?上頁(yè) 下頁(yè) 一般地 , 在區(qū)間 [a, b]上適當(dāng)選取點(diǎn) xk (k=0,1,?,n), 然后用 f(xk) 的 加權(quán)平均值 作為 f(?) 的近似值 , 可得到更為 一般的求積公式 其中：點(diǎn) xk叫 求積節(jié)點(diǎn) , 系數(shù) Ak叫 求積系數(shù) . Ak僅與節(jié)點(diǎn) xk的選取有關(guān) , 而與被積函數(shù) f(x)無(wú)關(guān) . 求積公式的 截?cái)嗾`差 為 )(d)()(0kbankkn xfAxxfIIfR ? ?????? R(f) 又稱(chēng)為 求積余項(xiàng) . 0( ) ( ) d ( ) ( 1 . 3 )nbk k nakI f f x x A f x I?? ? ??? 這類(lèi)數(shù)值積分方法通常稱(chēng)為 機(jī)械求積 ，其特點(diǎn)是將積分求值問(wèn)題歸結(jié)為函數(shù)值的計(jì)算，這就避開(kāi)了牛 萊公式尋求原函數(shù)的困難 . 上頁(yè) 下頁(yè) 代數(shù)精度的概念 定義 1 如果求積公式 ? ???? bankkk xfAxxfI0)(d)((1) 對(duì)所有次數(shù)不超過(guò) m的多項(xiàng)式都精確成立； (2) 至少對(duì)一個(gè) m+1次多項(xiàng)式不精確成立， 則稱(chēng) 該公式具有 m次代數(shù)精度 (或 代數(shù)精確度 ). 數(shù)值求積方法的近似方法，為要保證精度，我們自然希望求積公式能對(duì)“ 盡可能多 ”的函數(shù)準(zhǔn)確地成立，這就提出了所謂代數(shù)精度的概念 . 上頁(yè) 下頁(yè) 一般來(lái)說(shuō)，代數(shù)精度越高，求積公式越好。 否則令 k+1→ k轉(zhuǎn) (2)繼續(xù)計(jì)算 . 上頁(yè) 下頁(yè) Ｔ 數(shù)表 k T0(k) T1(k1) T2(k2) T3(k3) T4(k4) ? 0 T0(0) 1 T0(1) T1(0) 2 T0(2) T1(1) T2(0) 3 T0(3) T1(2) T2(1) T3(0) 4 T0(4) T1(3) T2(2) T3(1) T4(0) ? ? ? ? ? ? 注意計(jì)算順序，第 k步子區(qū)間長(zhǎng)度為 h=(ba)/2k. 上頁(yè) 下頁(yè) 可以證明，如果 f(x)充分光滑，那么 T數(shù)表 每一列的元素及對(duì)角線(xiàn)元素均收斂到所求的積分值 I，即 .lim)(lim)0()(ITmITmmkmk??????對(duì)任意固定的 對(duì)于 f(x)不充分光滑的函數(shù)也可以用 龍貝格算法計(jì)算 ，只是收斂慢一些，這時(shí)也可以直接使用復(fù)化辛普森公式計(jì)算 . 上頁(yè) 下頁(yè) 例 6 利用龍貝格算法計(jì)算積分 k T0(k) T1(k) T2(k) T3(k) T4(k) T5(k) 0 1 2 3 4 5 解 f(x)=x1/2在 [0,1]上僅是一次連續(xù)可微，用龍貝格算法結(jié)果見(jiàn)下表，從表中看到用龍貝格算到 k=5的精度與辛普森求積精度相當(dāng) . 這里 I的精確值為 . .10 2/3 dxxI ??上頁(yè) 下頁(yè) 一般我們將這種 龍貝格算法 也看成表格 我們?cè)谧儾介L(zhǎng)的過(guò)程中運(yùn)用了三個(gè)公式，就能將 粗糙的梯形值 Tn 逐步加工成 精度較高的辛普森值Sn、 柯特斯值 Cn和 龍貝格值 Rn. T1 T2 S1 T4 S2 C1 T8 S4 C2 R1 T16 S8 C4 R2 ﹕ ﹕ ﹕ ﹕ 上頁(yè) 下頁(yè) 例 利用龍貝格方法計(jì)算積分 i 2i T序列 S序列 C序列 R序列 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 這一結(jié)果與 I=π相比較已有較好的精度 . 解 計(jì)算結(jié)果列如下表 : .1 410 2 dxxI ? ??上頁(yè) 下頁(yè) 自適應(yīng)積分方法 復(fù)合求積方法通常適用于被積函數(shù)變化不太大的積分，如果在求積區(qū)間中被積函數(shù)變化很大，有的部分函數(shù)值變化劇烈，另一部分變化平緩，這時(shí)統(tǒng)一將區(qū)間等分用復(fù)合求積公式計(jì)算積分工作量大，因?yàn)橐_(dá)到誤差要求對(duì)變化劇烈部分必須將區(qū)間細(xì)分，而平緩部分則可用大步長(zhǎng)，針對(duì)被積函數(shù)在區(qū)間上不同情形采用不同的步長(zhǎng)，使得在滿(mǎn)足精度前提下積分計(jì)算工作量盡可能小，針對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的算法技巧是在不同區(qū)間上預(yù)測(cè)被積函數(shù)變化的劇烈程度確定相應(yīng)步長(zhǎng)，這種方法稱(chēng)為 自適應(yīng)積分方法 . 下面僅以常用的復(fù)合辛普森公式為例說(shuō)明方法的基本思想 . 上頁(yè) 下頁(yè) ( ) ( ) d .baI f f x x? ? 設(shè)給定精度要求 ? 0，計(jì)算積分 的近似值 . 先取步長(zhǎng) h=ba，應(yīng)用辛普森公式有 4( 4 )( ) ( ) ( , ) ( ) , ( , ) . ( 5 . 1 )1 8 0 2bab a hI f f x d x S a b f a b??? ??? ? ? ??????其中 ( , ) ( ) 4 ( ) .62h a bS a b f a f f b?? ???? ? ?????????若把區(qū)間 [a,b]對(duì)分，步長(zhǎng) h2=h/2=(ba)/2，在每個(gè)小區(qū)間上用辛普森公式，則得 4( 4 )22( ) ( , ) ( ) , ( , ) . ( 5 . 2 )1 8 0 2b a hI f S a b f a b??? ??? ? ?????上頁(yè) 下頁(yè) 其中 2 ( , ) , , .22a b a bS a b S a S b??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?2 1, ( ) 4 .2 6 4 2a b h hS a f a f a h f a???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ?2 3, 4 .2 6 2 4a b h hS b f a f a h f b?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?實(shí)際上 ()式即為 4( 4 )2( ) ( , ) ( ) , ( , ) . ( 5 .2 )1 8 0 4b a hI f S a b f a b??? ?? ?? ? ?????上頁(yè) 下頁(yè) 與 ()式比較，若 f(4)(x)在區(qū)間 (a,b)上變化不大，可假定 f(4)(η) ? f(4)(?) ，從而可得 4( 4 )216 [ ( , ) ( , ) ] ( ) .1 5 1 8 0 2b