【正文】 kkk xfAxxfI0)(d)(是 插值型求積公式 的 充要條件 為 : 該公式 至少具有 n次代數(shù)精度 . 綜上所述，我們有結(jié)論為 這時(shí)令 f(x)=1代入又有結(jié)論為 結(jié)論 對(duì)插值型求積公式的系數(shù)必有 0.n bk akA d x b a?? ? ?? ?上頁(yè) 下頁(yè) 求積公式的余項(xiàng) 若求積公式 ()的代數(shù)精確度為 m，則由求積公式余項(xiàng)的表達(dá)式 ()可以證明余項(xiàng)形如 ( 1 )0[ ] ( ) ( ) ( ) , ( , ) ( 1 . 8 )nbmkkakR f f x d x A f x K f a b????? ? ? ???其中 K為不依賴于 f(x)的待定參數(shù) . 這個(gè)結(jié)果表明當(dāng)f(x)是次數(shù)小于等于 m的多項(xiàng)式時(shí)，由于 f (m+1)(x)=0，故此時(shí) R[ f ]=0，即求積公式 () 精確成立 . 而當(dāng)f(x)=xm+1時(shí)， f (m+1)(x)=(m+1)!， ()式左端 R[f]?0，故可求得 上頁(yè) 下頁(yè) 1102 2 101( 1 ) !11( ) . ( 1 .9 )( 1 ) ! 2nbmmkkaknm m mkkkK x d x A xmb a A xmm???? ? ?????? ??? ????? ? ????? ?????代入余項(xiàng)公式 ()式可以得到更細(xì)致的余項(xiàng)表達(dá)式 . 例如梯形公式 ()的代數(shù)精確度為 1，可以證明它的余項(xiàng)表達(dá)式為 [ ] ( ) , ( , ) .R f K f a b??????其中 3 3 2 2 3 31 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) .2 3 2 2 6 1 2baK b a a b b a b a?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?于是得到梯形公式 ()的余項(xiàng)為 3()[ ] ( ) , ( , ) . ( 0 )12baR f f a b??? ??? ? ?上頁(yè) 下頁(yè) 對(duì)中矩形公式 ()，其代數(shù)精確度為 1，可以證明它的余項(xiàng)表達(dá)式為 [ ] ( ) , ( , ) .R f K f a b??????其中 23 3 31 1 1( ) ( ) ( ) .2 3 2 2 4abK b a b a b a?? ???? ? ? ? ? ??? ??????于是得到中矩形公式 ()的余項(xiàng)為 3()[ ] ( ) , ( , ) . ( 1 )24baR f f a b??? ??? ? ?上頁(yè) 下頁(yè) 例 2 求例 1中求積公式 102 1 1( ) d ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) .3 3 6f x x f f f ?? ? ??的余項(xiàng) . 解 由于此求積公式的代數(shù)精確度為 2，故余項(xiàng)表達(dá)式為 R[?]=K????(η)，令 f(x)=x3，得 ????(η)=3! ，于是有 1301 2 1 1( 0 ) ( 1 ) ( 0 )3 ! 3 3 61 1 1 1.3 ! 4 3 7 2K x d x f f f?????? ? ? ???????????? ? ? ??????故得 1[ ] ( ) , ( 0, 1 ) .72R f f ?????? ? ?上頁(yè) 下頁(yè) 其中 h=max(xixi1)，則稱求積公式 ()是 收斂的 . 求積公式的收斂性與穩(wěn)定性 定義 2 在求積公式 ()中，若 ? ??? ???nkbakkhndxxfxfA00.)()(lim 在求積公式 ()中，由于計(jì)算 f(xk)可能產(chǎn)生誤差 δk，實(shí)際得到 ，即 . 記 kkk fxf ???~)(kf~00( ) ( ) , ( ) .nnn k k n k kkkI f A f x I f A f??????如果對(duì)任給小正數(shù) ? 0，只要誤差 |?k|充分小就有 0( ) ( ) [ ( ) ] , ( 1 . 1 2)nn n k k kkI f I f A f x f ??? ? ? ??它表明求積公式 ()計(jì)算是 穩(wěn)定的 ，由此給出 上頁(yè) 下頁(yè) 定義 3 對(duì)任給小正數(shù) ? 0，若存在 ? 0，只要 就有 ()式成立，則稱求積公式 ()是 穩(wěn)定的 . ( ) ( 0 , 1 , , ) ,kkf x f k n?? ? ? 證明 對(duì)任給 ? 0, 若取 ?= ? /(ba), 對(duì)所有 k都有 故求積公式 ()是穩(wěn)定的 . 證畢 . 定理 2 若求積公式 ()中所有系數(shù) Ak0，則此求積公式是穩(wěn)定的 . 000( ) ( ) [ ( ) ]( ) ( ) .nn n k k kknnk k k kkkI f I f A f x fA f x f A b a? ? ????? ? ?? ? ? ? ? ????則有 ),1,0(~)( nkfxf kk ???? ? 定理 2表明只要求積系數(shù) Ak0 ，就能保證計(jì)算的穩(wěn)定性 . 上頁(yè) 下頁(yè) 牛頓 — 柯特斯公式 為便于上機(jī)計(jì)算，通常在內(nèi)插求積公式中我們通常取等距節(jié)點(diǎn)，即將積分區(qū)間 [a,b]劃分 n等分，即令步長(zhǎng) h=(ba)/n，且記 x0=a, xn=b，則節(jié)點(diǎn)記為xk=x0+kh(k=0,1,… n)，然后作變換 : t=(xx0)/h, 代入求積系數(shù)公式，將會(huì)簡(jiǎn)化計(jì)算 . 上頁(yè) 下頁(yè) 柯特斯系數(shù)與辛普森公式 設(shè)將積分區(qū)間 [a, b]劃分成 n等分 ,步長(zhǎng) h= ,nab?求積節(jié)點(diǎn)取為 xk=a+kh (k = 0,1,?,n),由此構(gòu)造插值型求積公式 , 則其求積系數(shù)為 ( ) d dbb jkkaa jkkjxxA l x x xxx????????引入變換 x = a + th, 則有 00( 1 )d ( ) d!( ) !nknnnnkj k j kt j b aA h t t j tk j n k n k????? ?? ? ? ?????(k=0,1,?, n) (k=0,1,?, n) 上頁(yè) 下頁(yè) 其中 () 0( 1 ) ( ) d . ( 2 . 2 )! ( ) !nk nnnkjkC t j tnk n k?????? ??記 ,)( )( nkk CabA ?? 于是得求積公式 ()0( ) ( ) . ( 2 .1 )nnn k kkI b a C f x??? ?稱為 n 階牛頓 柯特斯 (NewtonCotes)公式 . 顯然 , 柯特斯系數(shù)與被積函數(shù) f (x) 和積分區(qū)間[a,b]無(wú)關(guān) , 且為容易計(jì)算的多項(xiàng)式積分 . 0( 1 ) ( ) d!( ) !nk nnkjkbaA t j tn k n k??? ?? ? ?? ??稱為 柯特斯系數(shù) . 上頁(yè) 下頁(yè) n 1 1/2 1/2 2 1/6 4/6 1/6 3 1/8 3/8 3/8 1/8 4 7/90 32/90 12/90 32/90 7/90 5 19/288 75/288 50/288 50/288 75/288 19/288 6 41/840 216/840 27/840 272/840 27/840 216/840 41/840 ()nkC常用的柯特斯系數(shù)表 上頁(yè) 下頁(yè) 當(dāng) n=1時(shí)， 柯特斯系數(shù) 為 這時(shí)的 牛頓 柯特斯公式 為一階求積公式，就是我們所熟悉的 梯形公式 ，即 )].()([2bfafabT ???,2121,21)1(21)1(10210)1(110210)1(0????????????ttdtCtdttC上頁(yè) 下頁(yè) 當(dāng) n=2時(shí)， 柯特斯系數(shù) 為 相應(yīng)的 牛頓 柯特斯公式 為二階求積公式，就是 辛普森 (simpson)公式 (又稱為 拋物形求積公式 )，即 ,61)1(41,64)2(21,61)2)(1(4120)2(220)2(120)2(0??????????????dtttCdtttCdtttC[ ( ) 4 ( ) ( ) ] . ( 2 .3 )62b a a bS f a f f b??? ? ?上頁(yè) 下頁(yè) 0 1 2 3 4[ 7 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( ) 3 2 ( ) 7 ( ) ] . ( 2 .4 )90baC f x f x f x f x f x?? ? ? ? ?式中 khax k ?? (k=0,1,2,3,4), h=(ba)/4. n = 4 時(shí)的 牛頓 柯特斯公式 就特別稱為 柯特斯公式 . 其形式是 在 柯特斯系數(shù)表 中 (見書 p104)看到 n 7時(shí)， 柯特斯系數(shù) 出現(xiàn)負(fù)值，于是有 ,1)(1100)(0)( ??????? ??? ??? ababAabCCnkknknknknk上頁(yè) 下頁(yè) ()0()0()0( ) ( ) ( ) [ ( ) ]( ) ( )( ) ( ) .nnn n k k kknnk k kknnkkI f I f b a C f x fb a C f x fb a C b a?????? ? ? ?? ? ?? ? ? ????特別地，假定 ,~)(,0)~)(()( ????? kkkknk fxffxfC 且則有 這表明在 ba1時(shí)，初始誤差將會(huì)引起計(jì)算結(jié)果誤差增大，即計(jì)算不穩(wěn)定，故 n 7的 牛頓 柯特斯公式 是不用的 . 上頁(yè) 下頁(yè) 偶階求積公式的代數(shù)精度 作為插值型求積公式， n階 牛頓 柯特斯公式 至少具有 n次代數(shù)精度 (推論 1). 實(shí)際的代數(shù)精度能否進(jìn)一步提高呢？ 先看 辛普森公式 ，它是二階 牛頓 柯特斯公式 ，因此至少具有二次代數(shù)精度 . 進(jìn)一步用 f(x)=x3進(jìn)行檢驗(yàn)，按 辛普森公式 計(jì)算得 .246333??????????????? ???? bbaaabS上頁(yè) 下頁(yè) .246333??????????????? ???? bbaaabS另一方面，直接求積得 .4443 abdxxI ba??? ?這時(shí)有 S=I，即 辛普森公式 對(duì)不超過三次的多項(xiàng)式均能精確成立，又容易驗(yàn)證它對(duì) f(x)=x4通常是不精確的 (如取 a=0,b=1進(jìn)行驗(yàn)證有， S=5/24≠I=1/5)，因此，辛普森公式 實(shí)際上 具有三次代數(shù)精度 . 一般地，我們可以證明下述論斷： 上頁(yè) 下頁(yè) 定理 3 n 階牛頓 柯特斯公式的代數(shù)精度至少為 證明 由定理 1已知，無(wú)論 n為奇數(shù)或偶數(shù)，插值型求積公式都至少具有 n次代數(shù)精度 . 因此我們證明n為偶數(shù)的情形，即對(duì) n+1次多項(xiàng)式余項(xiàng)為零 . 令 n=2k， 設(shè) ???? ?101 )(nkkkn xaxq為任一 n+1次多項(xiàng)式，其最高次系數(shù)為 an+1，則它的n+1階導(dǎo)數(shù)為 )!1()( 1)1( 1 ?? ??? naxq nnn??? ??為奇數(shù)當(dāng)為偶數(shù)當(dāng)nnnnm.,1上頁(yè) 下頁(yè) 由余項(xiàng)公式 .)()!1( )()()!1( )(][)1(0)1(dxxnfdxxxnffR bannkkban??? ??? ????????? ?( 1 )11 1 0 12210R [ ( )