數(shù)值計(jì)算方法(第3章)-文庫吧
2025-04-19 02:07 本頁面
【正文】 ||||||)||||( | |||| | | |||||| | | |||||||||)(||||| | | |||||||||||||||m a x||||)3||||||||||||||||m a x||||||||m a x||||)2000xxxxxxxxxxxxxxxBABABABARAAAAAkAkkAkAnxxx????????????????于是，則由算子范數(shù) 1||||m a x||||,||||||||||||||||||||||||||)(||m a x||||||||||||||||||)(||010???????????????xxIxIIRBAABBAxxBABABAxxBAnnx則為單位矩陣中任何矩陣算子范數(shù)對(duì)推論。同理可證即有所以對(duì)常見的矩陣范數(shù) ???????????????????????njijniTniijnjpnnnnnijaAAAAaApRRaAxx11m a x2111||m a x||||)(||||2||||||1),2,1(,)(m a x范數(shù)：范數(shù)：范數(shù)：相容的矩陣范數(shù)是則于向量范數(shù)，設(shè)矩陣定理?常見的矩陣范數(shù) 。則非奇異又若則為對(duì)稱矩陣設(shè)推論里德范數(shù)。為矩陣的譜范數(shù)或歐幾為矩陣的行范數(shù)，為矩陣的列范數(shù)，一般稱范數(shù)：||)(||||||,|,)(|||||,)()(1m i n21m a x221211 12AAAAAAAAAF r o b e n i u saAFnjniijF???? ????? ? ???對(duì)稱矩陣范數(shù) ||)(||||)(||||||)()(0,)(|)(||||||)(|)()(||||1m in1m a x2111m a x22m a x2m a xm a x22AAAAAAAAAAAAAAAATT??????????????????????得由非奇異，則又因?yàn)樗杂兄C明：由例題 5]4)2()1(2[||||||||,01710108||1710108421241226}4|2||,1|2m a x {||||5}4|1||,2|2m a x {||: | |||||),2,1(||||,42122122222211????????????????????????????????????????????????????????????????????FTTFpAAAAIAAAAApAA。，故解得由因?yàn)榻饧扒笤O(shè)矩陣?yán)????? 矩陣的譜半徑和矩陣序列收斂性 關(guān)系。的任何一種范數(shù)有某種但可能與的一種范數(shù)不是的譜半徑矩陣的譜半徑。為矩陣則稱征值的特為矩陣設(shè)定義AAAAAAA, . . . , n ),(iλinii,)(|}{|m a x)(,1???????例題 33)(33,3304212||||421221????????????????????AAIA??????所以。特征值得：解：由的譜半徑。求矩陣譜半徑和矩陣序列的收斂性 。的任意性，有由，故有由于則的任一特征對(duì)，即為矩陣）設(shè)（證明。則若的任意一種算子范數(shù)為這里則設(shè)定理AAAAAAAAAAAAAAARAxxxxxxxxTnn?????????????}m a x {)(0,1||||)(,)2(。||||| | ,||)()1(,2??????????????????????????????????????????)(,||||)(5||||,||||,6||||,5||||,33)(,4212)(|)(|||||)2(**22m a x2AARAAAAAAAAAAAAAAnnpFT，滿足則必存在算子范數(shù)為任意指定的小正數(shù)，設(shè)定理。，所以顯然。，故因?yàn)榫仃囆蛄械氖諗啃? 。收斂于依范數(shù)則稱矩陣序列如果記作收斂到矩陣則稱矩陣序列如果及矩陣設(shè)矩陣序列定義AAAAAAAAnjiaaaAkaAkkkkkkijkijknnijnnkijk||||}{0||||l i ml i m,}{), . . . ,2,1,(l i m,)(), . . . ,2,1()()()(?????????????????。的充分必要條件是則設(shè)定理。收斂于矩陣依范數(shù)的充分必要條件是收斂到矩陣，矩陣序列與向量序列收斂性類似1)(0l i m, . 3}{), . . . ,2,1(}{????????AkAkRAAAAnkAnnkk? 病態(tài)方程組與矩陣的條件數(shù) ?,21會(huì)對(duì)解產(chǎn)生較大變化擾動(dòng)數(shù)矩陣和右端項(xiàng)有微小現(xiàn)在來回答：為什么系設(shè)線性方程組例???????????????????xx病態(tài)方程組與擾動(dòng)方程組的誤差分析 。）（，）（；）（現(xiàn)計(jì)算相對(duì)誤差：，||||||||3。||||||||105||||||||2||||||||105||||||||1321)3(~)2(~5)1(~5???????????????????????????xxxxbxxxxxAAA,iΔ( i )~( i )~病態(tài)方程組與擾動(dòng)方程組的誤差分析 樣的方程為病態(tài)方程。稱這解發(fā)生很大的變化有微小變化時(shí)陣和右端項(xiàng)顯然上述方程在系數(shù)矩,病態(tài)方程組 ? 擾動(dòng)方程 由于計(jì)算機(jī)字長限制，在解 AX=b時(shí)，舍入誤差是不可避免的。因此我們只能得出方程的近似解 。 是方程組（ A+△ A） x=b+ △ b (1) ~x~x 稱方程（ 1）為方程 Ax=b的擾動(dòng)方程。其中 △ A， △ b為由舍入誤差所產(chǎn)生的擾動(dòng)矩陣和擾動(dòng)向量。當(dāng)△ A， △ b的微小擾動(dòng)，解得（ 1）的解與 Ax=b的解 x的相對(duì)誤差不大稱為良態(tài)方程，否則為病態(tài)方程。 在沒有舍入誤差的解。 擾動(dòng)方程組的誤差界 。所以得又因?yàn)閺亩杏杉扔幸粋€(gè)擾動(dòng)產(chǎn)生則解有一個(gè)小的擾動(dòng)中設(shè)，bbxxxbbxbxbxbbxxxxbbbxAAAAAAAA??????????????????????111||||||||)()1( ,.||||||||||| | | |||1||||||||||| | | |||||||||||)())(()2(11111,AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAxxxxxxxxbxbxxxxbx????????????????????????????????所以得從而有由既有一個(gè)擾動(dòng)產(chǎn)生則解有一個(gè)小的擾動(dòng)中設(shè)。時(shí)得當(dāng)從而即有由既有一個(gè)擾
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