【正文】 0?? kh, ?????? 000~ VUU? ?Tnkn ??0 nn UU ,~???? nnn VUU~? 設(shè)向量 ，則常用的向量范數(shù)有： （ 1） （ 2） （ 3） ? ?Tnxxxx ?, 21?。222212 nxxxx ???? ?；nxxxx ???? ?211。tnt xx ??? ? 1m a x它們分別稱為 2范數(shù)， 1范數(shù)和無窮范數(shù)，其中 2范數(shù)亦稱為歐氏范數(shù)。設(shè)矩陣 的元素，則相應(yīng)的矩陣范數(shù) （ 1） 其中 ，為 的共軛轉(zhuǎn)置矩陣， 為 的最大特征值； （ 2） ； ? ? AaaA ijnnij 為,??? ?AAA ?? 12 ? TAA ?? A1?AA??????niijnj aA111 m a x????? ?njijni aA11m a x （ 3） 分別稱為矩陣 的 2范數(shù)， 1范數(shù)和無窮范數(shù)。顯然對(duì)所有的范數(shù)都有 其中 為矩陣 的譜半徑， 為矩陣的特征值。 上而定義的穩(wěn)定性，由于只考慮初始值引進(jìn)的誤差的傳播，稱為差分格式關(guān)于初始值的穩(wěn)定性。 A? ? AA ??? ?A? A ? ?ttntA ??? ,max1 ??? 因?yàn)? 滿足如下方程 故 滿足 因此，可推得 由此，如果存在一正常數(shù) ，使在一定范數(shù)下滿足 則差分格式（ ），（ ）穩(wěn)定。 nU??????????? ??0011 1,1,0,VUNneAUCU nnnnn??111 ~ ??? ?? nnn UUV????? ????為初始誤差01 1,1,0,VNnVCV nnn ?001001 , VCVVCVnttnnttn ?????? ??????????KKTnKCntt ?????0,0 （ ） 通過對(duì)矩陣 的直接估計(jì)探求差分格式穩(wěn)定性條件稱為穩(wěn)定性分析的直接法（矩陣法）。解拋物型方程初邊值問題的差分格式常利用矩陣法求得穩(wěn)定性條件。 以下僅討論差分方程系數(shù)不依賴于時(shí)間層數(shù)，即 ，差分方程為 這時(shí)穩(wěn)定性條件為，存在常數(shù) ，使 tCCBACBBAA ttt ???? ? 1, 故??????????01UeBUAU nnnKkTnKC n /0, ???（ ） （ ） 令設(shè) 為 的特征值，用 表示 的最大值，即 的譜半徑，則有 定理 差分格式（ ）穩(wěn)定的必要條件是，存在與 無關(guān)的常數(shù) ，使矩陣 的譜半徑滿足 證 因?yàn)閷?duì)所有 ，有 故若（ ）穩(wěn)定，則必有 容易算出式（ ）與式（ ）是等價(jià)的，事實(shí)上 121 ?M??? ?，C ? ?C?i?Ck oc CBA ??1? ? kcC 01 ???0?n? ? ? ? nnn CCC ?? ??? ? KTnKCn /0, ???? （ ） （ ） 若式（ ）成立，則 反之，若式（ ）成立，特別取 ，則 這里取 證畢。 ? ? ? ? ? ? KekckcC TcKTnn ?????? 000 11?? ? kTnkkT // ???? ? kkT kkT k eKC ln?? ???kckTkkkTkk0221ln!2ln1 ???????????????????? ?0ln00 0,ln00kkekTkckkTk???? ? 穩(wěn)定性的必要條件（ ）十分重要，在很多情況下，它也是充分條件。應(yīng)用矩陣的歐幾里德范數(shù)，則我們有以下定理。 定理 若 為正規(guī)矩陣，則 。 證明從略。僅指出，滿足 的矩陣 稱為正規(guī)矩陣， 為 的復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣， 。顯然，實(shí)對(duì)稱矩陣為正規(guī)矩陣。 定理 若在差分格式（ ）中， 為正規(guī)矩陣，即滿足 ，則條件（ )是差分格式（ ）按歐幾里德范數(shù)穩(wěn)定的充分條件。 A ? ?AA ??2AAAA ?? ? A?A A TAA ??CBA ??1CCCC ?? ? 證 當(dāng) 為正規(guī)矩陣時(shí)， 也是正規(guī)矩陣，而正規(guī)矩陣的歐幾里德范數(shù)等于其譜半徑，故有 因而當(dāng)式（ ）成立時(shí)，則式（ ）成立，差分格式穩(wěn)定，又式（ ）與（ ）等價(jià)，從而（ ）是穩(wěn)定的充分必要條件。證畢。 在用矩陣方法具體分析差分格式關(guān)于歐幾里德范數(shù)穩(wěn)定性之前，首先給出有關(guān)矩陣特征值計(jì)算的幾個(gè)結(jié)論。 C nC? ? ? ?CCC nnk ?? ??2（ 1） 階三對(duì)角線方陣 的特征值為 這里 可以是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。 M????????????????????acbacbacbacba???? ?? ? MjMjMbcbat ,1,1/c o s221????????????cba , 以下令 是矩陣 的相應(yīng)于特征值 的特征向量，于是 ，因此 ，表示矩陣 對(duì)應(yīng)于特征向量 的特征值 ，相似 （ 2） 如果 是 的具有系數(shù) 的多項(xiàng)式，于是 表明 為 的特征值，相應(yīng)的特征向量為 。 （ 3） 設(shè) 的多項(xiàng)式， 非奇異，則 為矩陣 的特征值，相應(yīng)的特征向量為 。 x A ?xAx ?? ? ? xAxAxA 2?? ?? 2Ax 2? ? ??,4,3?? pxxA pp ?? ? IaAaAaAf pppp 011 ???? ?? ?A01 , aaa pp ??? ? ? ? ? ? xfxaaaxAf pppp ??? ????? ?? 011 ?? ??f ? ?Af x? ? ? ? AAfAf 為21 , ? ?Af1? ? ? ??? 12 / ff ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? 112211 ?? AfAfAfAf 和x 現(xiàn)在轉(zhuǎn)入對(duì)具體格式的穩(wěn)定性分析。 （ 1）古典式差分格式的穩(wěn)定性 利用古典顯示差分格式解定解問題（ ），（ ），（ ）的相應(yīng)差分方程組為 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?11100 1 21 2 , 0 , 1 , 1 。 , ,1 , 2 , , 1 。 1, 0 , 1 , , 0 , 1 , ,n m n nm n m mmnnMU r U r U U n N N T km M M hU m h m MU nk U nk n N??????? ? ? ? ? ? ? ??? ? ???????? ? ??寫成矩陣形式為 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????nMnnMnMnnnnMnMnnnrUrUUUUUUrrrrrrrrrrrrrUUUUU00021212121210123211112131211?????1,1,0 ?? Nn ?其中? ?? ?? ?? ?? ?? ??????????????????????????????????????????????????????01010202011,1,0,122UNneCUUkMkMkkUUUUnnnMM??? 或者（ ） 顯然，矩陣的特征值為 令 為常數(shù)，因此為使 滿足式（ ），即滿足不等式 必須而且只須 由于 是實(shí)對(duì)稱矩陣，故由定理 ，式（ ）是古典顯式差分格式（ ）穩(wěn)定的充分必要條件。 ? ? 1,2,1,2s i n41c os2221 2 ?????????????? Mjhjrhjrrrj ????2/ hkr ? j?12s i n41 2 ???????? hjr ?21?rC（ ） （ 2） CrankNicolson隱式格式的穩(wěn)定性 定解問題（ ），（ ）（ ）的 CrankNicolson的格式是 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?????????????????????????????????????????????NnnkUnkUMmmhUMhMmkTNNnUUrUrUUrUrnMnmnmnmnmnmnmnm,1,0,1,0,1。1,2,1。1,1,021)1(21121001111111???????，（ ） 寫成矩陣形式 ????????????????????????????????????????????????????????????????????1112131211121211212112121121211nMnM