數(shù)值計(jì)算與算法設(shè)計(jì)課程設(shè)計(jì)--導(dǎo)彈追蹤微分方程模型的數(shù)值解法-文庫吧
2025-05-18 13:47 本頁面
【正文】 ......................... 10 設(shè)計(jì)總結(jié) ...................................................................................................................... 13 參考文獻(xiàn) ...................................................................................................................... 14 1 導(dǎo)彈追蹤問題及其求解 一、問題及分析 某軍導(dǎo)彈基地發(fā)現(xiàn)正北方向 120km處海面上有敵艦一艘以 90km/h的速度向正東方向行駛。該導(dǎo)彈基地立即發(fā)射一枚導(dǎo)彈跟蹤追擊敵艦，導(dǎo)彈 速度為450km/h，自動(dòng)導(dǎo)航系統(tǒng)使導(dǎo)彈在任一時(shí)刻都能對(duì)準(zhǔn)敵艦。試問導(dǎo)彈在何時(shí)何處擊中敵艦？ 二、模型的建立 如圖建立坐標(biāo)系，取導(dǎo)彈基地為原點(diǎn) )0,0(O ， x 軸指向正東方， y 軸指向正北方。 當(dāng) 0?t 時(shí)，導(dǎo)彈位于點(diǎn) O ，敵艦位于點(diǎn) ),0( HA ，其中 kmH 120? 。設(shè)導(dǎo)彈在 t 時(shí)刻的位置為 ? ?)(),( tytxP ，由題意 2122 vdtdydtdx ?????????????? (1) 其中 hkmv /4501 ? 。 在 t 時(shí)刻，敵艦位于 ),( 2 HtvM 處，其中 hkmv /901 ? 。由于導(dǎo)彈軌跡的切線方向必須指向敵艦，即直線 PM 的方向就是導(dǎo)彈軌跡上點(diǎn) P 的切線方向，故有 xtv yHdxdy ??? 2或 ???????? ??? xtv yHdtdxdtdy2 (2) 方程 (1)、 (2)連同初值條件 0)0(,0)0( ?? yx (3) 構(gòu)成了一個(gè)關(guān)于時(shí)間變量 t 的一階常微分方程組的初值問題。 2 為了獲得 x 與 y 的關(guān)系，要設(shè)法消去變量 t ，由 (2)式得 xtvdydxyH ??? 2)( 兩邊對(duì) t 求導(dǎo)得 dtdxvdtdydydxdtdydy xdyH ???????? ??? 222)( ，即222)( vdtdydy xdyH ?? 將上式與 (1)式合并，再加上初值條件，則得如下初值問題 ????????????????????????????001001222yydydxxvvdyxddydxyH 這就是導(dǎo)彈軌跡的數(shù)學(xué)模型。 3 三、算法的設(shè)計(jì) 解析方法 模型中的二階方程可以降階 。令 dydxp?，記12vv?? ， 則方程可降為一階可分離變量方程 yH pdydp ???21? 即 yH yHdpdp ????? )(1 2 ? 易得 ? ?21)( ppCyH ???? ? ? 由初值條件 00??yp ，得 ???HC ，從而 21 ppyH H ??????????? ? ? 注意到上式可改寫為 21 ppH yH ????????? ?? ? 于是有 ???????? ???????????????? ?? ?? H yHyH Hp 21 這樣我們又得到一個(gè)可分離變量方程 ???????? ???????????????? ?? ?? H yHyH Hdydx 21 積分得 ? ? ? ? CyHHH yHx ??????? ?????? ?? ?? ????1)1(2111 利用 00??yx ，得21 ???? HC，從而導(dǎo)彈軌跡方程為 4 ? ? ? ?21111)1(21 ???????????????? ? ??????? HyHHH yHx 設(shè)導(dǎo)彈擊中敵艦于 ),( HLB ，以 Hy? 代入上式，得 2122 2121 vv vHvHL ???? ?? 擊中敵艦的時(shí)刻為 2221 12 vv HvvLT ??? 代入具體數(shù)據(jù)得 hTkmL ,25 ?? 數(shù)值方法 可以用數(shù)值分析中介紹的 Euler 公式、改進(jìn)的 Euler 公式和四階 RungeKutta公式來求解上述初值問題。 (1) Euler 公式 將 ),( yxfy ?? 在 ? ?1, ?nn xx 上積分， ? ???? 1 ))(,()()( 1 nnxxnn dxxyxfxyxy，得 ? ? ???? 1 ))(,(1 nnxxnn Idxxyxfyy，用數(shù)值積分法求 I 。 (1) ? ?nn yxhfI ,? ，得 ? ?nnnn yxhfyy ,1 ??? Euler 公式 (2) ? ?11 , ??? nn yxhfI ，得 ? ?111 , ??? ?? nnnn yxhfyy 后退的 Euler 公式
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