【正文】 大 ； 而第一種方法經(jīng)過(guò)每一次迭代都將誤差縮小為初始誤差的五分之一 ， 使得最終的誤差越來(lái)越小 ， 因此相對(duì)來(lái)說(shuō)比較可靠 ， 性能較好。 1． 3 繪制 Koch 分形曲線 問(wèn)題描述：從一條直線段開(kāi)始，將線段中間的三分之一部分用一個(gè)等邊三角形的另兩條邊代替，形成具有 5 個(gè)結(jié)點(diǎn)的新的圖形（圖 14）；在新的圖形中，又將圖中每一直線段中間的三分之一部分 都用一個(gè)等邊三角形的另兩條邊代替，再次形成新的圖形（圖 15），這時(shí)，圖形中共有 17個(gè)結(jié)點(diǎn)。這種迭代繼續(xù)進(jìn)行下去可以形成 Koch 分形曲線。 問(wèn)題分析：考慮由直線段（ 2 個(gè)點(diǎn)）產(chǎn)生第一個(gè)圖形（ 5 個(gè)點(diǎn)）的過(guò)程，設(shè) 1P 和 5P 分別為原始直線段的兩個(gè)端點(diǎn)?，F(xiàn)在需要在直線段的中間依次插入三個(gè)點(diǎn) 234,P P P 產(chǎn)生第一次迭代的圖形（圖 14）。顯然， 2P 位于 1P 點(diǎn)右端直線段的三分之一處， 4P 點(diǎn)繞 2P 旋轉(zhuǎn) 60 度（逆時(shí)針?lè)较颍┒玫降?，故可以處理為向?24PP經(jīng)正交變換而得到向量 23PP，形成算法如下： （ 1） 2 1 5 1( ) / 3P P P P? ? ? ； （ 2） 4 1 5 12 ( ) / 3P P P P? ? ?； （ 3） T3 2 4 2()P P P P A? ? ? ?； 在算法的第三步中， A 為正交矩陣。 這一算法將根據(jù)初始數(shù)據(jù)（ 1P 和 5P 點(diǎn)的坐標(biāo)），產(chǎn)生圖 14 中 5 個(gè)結(jié)點(diǎn)的c os s in33s in c os33A?????????????? 6 坐標(biāo)。這 5 個(gè)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)組，組成一個(gè) 5 2 矩陣。這一矩陣的第一行為為 1P 的坐標(biāo)，第二行為 1P 的坐標(biāo)，第二行為 2P 的坐標(biāo)……第五行為 5P的坐標(biāo)。矩陣的第一列元素分別為 5 個(gè)結(jié)點(diǎn)的 x 坐標(biāo) ，第二列元素分別為 5 個(gè)結(jié)點(diǎn)的 y 坐標(biāo)。 問(wèn)題思考與實(shí)驗(yàn)： （ 1）考慮在 Koch 分形曲線的形成過(guò)程中結(jié)點(diǎn)數(shù)目的變化規(guī)律。設(shè)第 k次迭代產(chǎn)生結(jié)點(diǎn)數(shù)為 kn ，第 1k ? 迭代產(chǎn)生結(jié)點(diǎn)數(shù)為 1kn? ，試寫(xiě)出 kn 和 1kn? 之間的遞推關(guān)系式； （ 2）參考問(wèn)題分析中的算法，考慮圖 14 到圖 15 的過(guò)程 ，即由第一次迭代的 5 個(gè)結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)組，產(chǎn)生第二次迭代的 17 個(gè)結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)組的算法； （ 3）考慮由第 k 次迭代的 kn 個(gè)結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)組，產(chǎn)生第 1k? 次迭代的 1kn? 個(gè)結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)組的算法； （ 4）設(shè)計(jì)算法用計(jì)算機(jī)繪制出如下的 Koch 分形曲線（圖 16） 解： (1) 1 43kknn? ?? (2)(3)算法及 (4)代碼分析： p=[0 0。10 0]。 %P為初始兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) ,第一列為 x坐標(biāo) ,第二列為 y坐標(biāo) n=2。 %n為結(jié) 點(diǎn)數(shù) A=[cos(pi/3) sin(pi/3)。sin(pi/3) cos(pi/3)]。 %旋轉(zhuǎn)矩陣 for k=1:4 d=diff(p)/3。 %diff計(jì)算相鄰兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之差 ,得到相鄰兩點(diǎn)確定的向量 %則 d就計(jì)算出每個(gè)向量長(zhǎng)度的三分之一 ,與題中將線段三等分對(duì)應(yīng) m=4*n3。 %迭代公式 q=p(1:n1,:)。 %以原點(diǎn)為起點(diǎn) ,前 n1個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為終點(diǎn)形成向量 p(5:4:m,:)=p(2:n,:)。 %迭代后處于 4k+1位置上的點(diǎn)的坐標(biāo)為迭代前的相應(yīng)坐標(biāo) p(2:4:m,:)=q+d。 %用向量方法計(jì)算迭代后處于 4k+2位置上的點(diǎn)的坐標(biāo) p(3:4:m,:)=q+d+d*A39。 %用向量方法計(jì)算迭代后處于 4k+3位置上的點(diǎn)的坐標(biāo) p(4:4:m,:)=q+2*d。 %用向量方法計(jì)算迭代后處于 4k 位置上的點(diǎn)的坐標(biāo) n=m。 %迭代后新的結(jié)點(diǎn)數(shù)目 end plot(p(:,1),p(:,2)) %繪出每相鄰兩個(gè)點(diǎn)的連線 axis([0 10 0 ]) 7 2． 1 用高斯消元法的消元過(guò)程作矩陣分解。設(shè) 20 2 31 8 12 3 15A???????? 消元過(guò)程可將矩陣 A 化為上三角矩陣 U，試求出消元過(guò)程所用的乘數(shù)21m 、 31m 、 31m 并以如下格式構(gòu)造下三角矩陣 L 和上三角矩陣 U ( 1 ) ( 1 )21 22 23( 2 )31 32 331 20 2 31,1L m U a am m a? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 驗(yàn)證：矩陣 A 可以分解為 L 和 U 的乘積，即 A=LU。 矩陣 LU 分解 MATLAB 代碼 : function hl=zhjLU(A) [n,n]=size(A)。RA=rank(A)。 if RA~=n disp(39。因?yàn)?A的 n階行列式 hl等于零，所以 A不能進(jìn)行 LU 分解 .A 的秩 RA 如下： 39。)。 RA,hl=det(A)。 return end if RA==n for p=1:n h(p)=det(A(1:p,1:p))。 end hl=h(1:n)。 for i=1:n if h(1,i)==0 disp(39。因?yàn)?A的各階主子式等不等于零 ， 所以 A能進(jìn)行 LU分解 .A 的秩 RA和各階順序主子式值 hl依次如下 ： 39。)。 RA,hl return end end if h(1,i)~=0 disp(39。因?yàn)?A的各階主子式都 不等于零，所以 A能進(jìn)行 LU分解 .A的秩 RA和各階順序主子式值 hl 如下： 39。)。 for j=1:n U(1,j)=A(1,j)。 8 end for k=2:n for i=2:n for j=2:n L(1,1)=1。L(i,i)=1。 if ij L(1,1)=1。L(2,1)=A(2,1)/U(1,1)。L(i,1)=A(i,1)/U(1,1)。 L(i,k)=(A(i,k)L(i,1:k1)*U(1:k1,k))/U(k,k)。 else U(k,j)=A(k,j)L(k,1:k1)*U(1:k1,j)。 end end end end RA,hl