數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)--初值問題、邊值問題-文庫吧
2025-05-18 13:47 本頁面
【正文】 經(jīng)典龍格 — 庫塔公式： ???????????????????????????????)2,2()2,2()2,2(),()22(6342312143211KhyhxfKKhyhxfKKhyhxfKyxfKKKKKhyyiiiiiiiiii 推導(dǎo)：由微分中值定理知 ][),)((39。)()( 111 ??? ???? iiiiii xxxxyxyxy ，?? 從而得到： ))(,()()( 1 ?? yhfxyxy ii ??? 若簡單地取左端點(diǎn) ix 處的斜率： 1),())(,( Kyxfxyxf iiii ?? 作為平均斜率 *K 的近似值，則得 ???????),(111iiiiyxfKhKyy 若用點(diǎn) ix 處的斜率近似值 1K 與右端點(diǎn) 1?ix 處的斜率近似值 211 )),(,())(,( Kyxhfyhxfxyxf iiiiii ?????? 的算術(shù)平均值作為斜率 *K 的近似值，則得 9 ???????????????),(),()(2121211hKyhxfKyxfKKKhyyiiiiii 由上式可知，利用兩個(gè)點(diǎn)上斜率近似值 1K 與 2K 的加權(quán)平均值作為平均斜率*K 的近似值，利 用歐拉公式預(yù)估 )( 2hxy i ?? ，可構(gòu)造形如： ?????????????),(),()(1222122111hKyhxfKyxfKKKhyyiiiiii???? 的計(jì)算公式（稱為二階龍格 — 庫塔法），為確定系數(shù) 21 ??， 與 2? ，將 2K 在),( ii yx 處泰勒展開，并注意到 )( ii xyy ? ，就有 22111 hKhKyy ii ?? ???? ),([),( 21 iiiii yxfhyxhfy ?? ???)](),(),(),( 222 hoyxfyyxhfyxfxh iiiiii ??????? ?? ),()( 21 iii yxhfy ?? ??? )()],(),(),([ 3222 hoyxfyyxfyxfxh iiiiii ??????? ?? )()(39。39。)(39。)()( 322221 hoxyhxhyxy iii ????? ???? 另一方面： )()(39。39。21)(39。)()( 321 hohxyhxyxyxy iiii ????? 由上兩式知： 10 ????????2112221???? 利用類似的推導(dǎo)法即可求得四階龍格 — 庫塔法 . 理查德森外推法公式 （歐拉步長自適應(yīng)法）： )(12 1)( )(1)2/(1)2/(11hihiphii yyyxy ???? ???? 推導(dǎo)：從結(jié)點(diǎn)ix出發(fā)，先以 h 為步長，經(jīng)一步計(jì)算出 )(1?ixy的近似值 )(1hiy?,如 果使用的是 p 階的方法，則： )()( 21)(11 ???? ??? pphii hochyxy ...............（ 1） 在一般情況下，式中系數(shù) c 既依賴于 h，又依賴于ix，但當(dāng) h 較小時(shí)，可近似地看作常數(shù)。 然后將步長折半，即以 2h 為步長，仍從ix出發(fā)，經(jīng)兩步計(jì)算求得 )(1?ixy的另一個(gè)近似值 ）（ 2/1hiy? ，其中每一步的截?cái)嗾`差約為 1)2( ?phc ，故：)()2(2)( 21)2/(11 ???? ??? pphii hohcyxy .............（ 2） 以 p2 乘以（ 1），并與（ 2）相減，得： )(2)()12(2)(1)2/(11 ???? ???? phihipip hoyyxy 即： )(22)( 21)(1)2/(11 ?? ??? ??? pphihipi hoyyxy .....................（ 3） 若取： 1)(1)2/(11i 22 ? ??? ?? phihip yyy ..........................................（ 4） 作為 )( 1?ixy 的近似值，則其精度顯然比 )(1hiy? 與 )2/(1 hiy? 都要高，這種修正的思想實(shí)際上與龍貝格數(shù)值積分法思想是一致的。 若將（ 4）式改寫為： 11 )(12 1 )(1)2/(1)2/(11hihiphii yyyy ???? ???? 則由 11 )( ?? ? ii yxy 立即可得： )(12 1)( )(1)2/(1)2/(11hihiphii yyyxy ???? ???? 由此可見，若以 )2/(1 hiy? 作為 )( 1?ixy 的近似值，則其誤差可用前后兩次計(jì)算結(jié)果之差來表示，即可用： || )(1)2/(1 hihi yy ?? ??? 來判斷所選取色步長是否適當(dāng)。具體的做法是： （ 1） 若 ??? （ ? 由精度要求確定），則反復(fù)將步長折半進(jìn)行計(jì)算，直至??? ，并取最后一次步長所得值作為 1?iy ； （ 2） 若 ??? ，則反復(fù)將步長加倍進(jìn)行計(jì)算，直至 ??? ，并取上一次步長所得值作為 1?iy . 有限差分法：將區(qū)間 [a,b]N 等分，記分點(diǎn)為 ihxxi ?? 0 ),.....,1,0。( NiN abh ??? 在內(nèi)結(jié)點(diǎn) ix )1,. ... .,2,1( ?? Ni 處有 )()()()(39。39。 iiii xxyxqxy ??? 由上兩式知： )(12)]()(2)([1)(39。39。 )4(221021 ?fhxfxfxfhxy ???? 故： )()()()(2)(2 11 iiiii xyxqhxyxyxy ??? ?? )(12)( )4(2ii yhx ?? ?? 當(dāng) h 較小時(shí)，略去式中余項(xiàng) )(12 )4(2iyh ? ，則得確定 )( ixy 近似值 iy 的線性方 12 程組： ??????????????? ?????NiiiiiiyyNixyxqhyyy0211 )1,. .. ,2,1)(()(2 將它稍加整理后寫成矩陣形式，即： bAy? 其中： ?????????????????hq211hq21............1hq211hq2A21N22N2221 ???????????????????yyyyyNN1221... ???????????????????????hrhrhrhrbNN21222221... 方程組的)(qqi xi?，rri ),...,2,1( Ni?，系數(shù)矩陣為 對角占優(yōu)的三對角線矩陣，可用追趕法解之。 13 五、程序模塊 函數(shù)模塊 void GJEulerMethord(double N,int a,int b,double y0,double xm,double b2,double l) //改進(jìn)歐拉公式 void ExplicitEulerMethord(double N,int a,int b,double y0,double xm,double b2,double l) //顯示歐拉公式 void ImplicitEulerMethord(double N,int a,int b,double y0,double xm,double b2,double l) //隱式歐拉公式 void TxingMethord(double N,int a,int b,double y0,double xm,double b2,double l) //梯形公式 void R_KMethord(double N,int a,int b,double y0,double xm,do
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