【正文】 39。39。 39。39。( 0) ( 0)jjs x s x? ? ? （ ） 共有 3n3 個條件，再加上 ()sx 滿足插值條件 （ ），共有 4n2 個條件，因此還需要 2個條件才能確定 ()sx 。通?？稍趨^(qū)間 [, ]ab 端點 0, na x b x??上各加一個條件（稱課程設計說明書（論文） 第 II 頁 邊界條件），邊界條件可根據(jù)實際的問題要求給定。常見的三種： (1) 已知兩端的一節(jié)導數(shù)值，即 ?39。39。0039。39。()()nns x fs x f?? （ ） (2)兩端的二 階導數(shù)已知，即 ?39。39。 39。39。0039。39。 39。39。()()nns x fs x f?? （ ） 特殊情況下的邊界條件 39。39。 39。39。0( ) ( ) 0ns x s x?? （ ） ’ 稱為自然邊界條件 （ 3）當 ()fx是以 0nxx? 為周期函數(shù)時， 則要求 ()sx 也是周期函數(shù)，這時邊界條件應滿足 而此時式中 , 這樣確定的樣條函數(shù) 稱為周期函數(shù)。 二 函數(shù) 推 導 原理 及構造 我們采用待定一階導數(shù)的方法即設 S(Xj)=Mj,j=0,1,...,n,因為分段三次 Hermite插值多項式已經(jīng)至少是一階連續(xù)可導了，為了讓它成為三次樣條函數(shù)只需確定節(jié)點處的一階導數(shù)使這些節(jié)點處的二階導數(shù)連續(xù)即可！ 1,1),0()0( ????????? nixSxS ii ?)()()()()( 11 111010 iii iiii i h xxiih xxiih xxih xxi hmhmyyxS ?????? ?? ???? ????課程設計說明書（論文） 第 III 頁 由于在內(nèi)部節(jié)點處二階導數(shù)連續(xù)條件： 整理化簡后得： 第一類三次樣條插值問題方程組由于已知： 基本方程組化為 n1階方程組 化為矩陣形式 1,1,0,],[ 11 ????? ?? nixxhxxx iiiii ?212 )1()(,)1)(12()( ????? xxxxxx ??并整理后得求二階導數(shù)對 ,)( xS i)()2(6)( 13 1 iiiiii yyh xxxxS ?????? ??11 1226 2 4 6 4 2i i i iiiiix x x x x xmmhh?? ?? ? ? ???1126 4 2l im ( ) ( 0 ) ( )i i i i i ixx i i iS x S x y y m mh h h? ??? ?? ??? ? ? ? ? ?112 1 1 16 2 4l im ( ) ( 0 ) ( )i i i i i ixx i i iS x S x y y m mh h h? ??? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ?)(3 11 11 11 i iiii ii iiii i h yyhh hh yyhh h ?????? ?? ?? ??( 0 ) ( 0 ) , 1 , 2 , , 1iiS x S x i n?? ??? ? ? ? ?1111 1)11(21 ???? ??? iiiiiii mhmhhmh )(3 21121??? ????iiiiii h yyh yy)(3 11 11 11 i iiii ii iiii i h yyhh hh yyhh h ?????? ?? ?? ??1,1 ?? ni ? 11111 2 ????? ???? iiiiiiiii mhh hmmhh h)(3 11 11 11 i iiii ii iiii i h yyhh hh yyhh h ?????? ?? ?? ??1113 ( )i i i ii i iiiy y y yg hh?????????個未知量個方程共個 1,1 ?? nn00)( mxS ?? nn mxS ?? )(0112112 fgmm ???? ??kkkkkk gmmm ???? 11 2 ?? 2,3,2 ?? nk ?nnnnnn fgmm ???? ????? 11121 2 ?????????1iiiihhh??? ?11 1iiiiihhh????? ? ??課程設計說明書（論文） 第 IV 頁 \ 這是一個嚴格對角占優(yōu)的三對角方程組 ,用追趕法可以求解！ 第二類三次樣條插值問題的方程組 ,由于已知： 故得： 稍加整理得 聯(lián)合基本方程組得一個 n+1階三對角方程組，化成矩 陣形式為：仍然是嚴格對角占優(yōu) 第三類樣條插值問題的方程組 ， 由于： 立即可得下式： 1 1 1 1 02 2 2 23 3 3 342 2 2 21 1 1 1222222n n n nn n n n nm g mmgmgmgm g m???????????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?00)( MxS ??? nn MxS ??? )(時，稱為自然邊界條件00 ?? nMM)(6)( 01200 yyhxS ???? 004mh? 102mh? 0M?)(6)( 12 1 ?? ????? nnnn yyhxS 112 ??? nn mh nn mh 14?? nM?000 0110 232 Mhh yymm ????nnn nnnn Mhh yymm 232 11 11 ?? ?? ????0g?ng???????????????????????212222121132211nn ????????????????????????????????nnmmmmm1210????????????????????????nnggggg1210??nn mmxSxS ??????? 00 )0()0()0()0( 0 ??????? nxSxS)2(2)(6)0( 01001200 mmhyyhxS ???????)2(2)(6)0( 1112 1 nnnnnnn mmhyyhxS ??????? ????nnnnn gmmm ??? ? 211 ??課程設計說明書（論文） 第 V 頁 其中 : 聯(lián)合基本方程得一個廣義三對角或周期三對角方程組 ： 求解這些不同類型的樣條插值問題的方程組，我們可得所要待定的一階導數(shù)： 再代入 S(x)的每一段表達式，就求得三次樣條函數(shù)的表達式 ! 利用插值（即求過已知有限個數(shù)據(jù)點的近似函數(shù)）的基本原理，用多項式作為研究插值的工具，進行代數(shù)插值。其基本問題是：已知函數(shù) f (x)在區(qū)間 [a,b]上 n +1 個不同點 x0， ? ， xn處的函數(shù)值 (i = 0,1,?,n) ，求一個至多 n 次多項式 ψn(x) 使其在給定點處與 f (x)同值，即滿足插值條件 : ψn(x)= = . 許多工程技術中提出的計算問題對插值函數(shù)的光滑性有較高要求，如飛機的機翼外形，內(nèi)燃機的進、排氣門的凸輪曲線，都要求曲線具有較高的光滑程度，不僅要連續(xù)，而且要有連續(xù)的曲率，這就導致了樣條插值的產(chǎn)生。 數(shù)學上將具有一定光滑性的分段多項式稱為樣條函數(shù)。具體地說，給定區(qū)間[a,b]的一個分劃 Δ 如果函數(shù) s(x) 滿足 ： （ i）在每個小區(qū)間 [ ](i=0,1,?,n) 上 s(x)是 k 次多項式； （ ii） s(x)在 [a,b]上具有 k ?1