【正文】 ( 1 )11[ ] ( ( ) ) ( ) ( ) .( 1 ) !b nnaR f f x x x d xn ? ? ???? ? ?顯然當(dāng) f(x)取為 1, x, …, xn時有 R[f]=0，此時有 0( ) ( ) ( ) .nbkkakf x x d x A f x??? ??即求積公式 ()至少具有 n次代數(shù)精度 . 現(xiàn)在考察如何選取節(jié)點(diǎn) xk(k=0,1,?,n)才能使求積公式精度提高到 2n+1次 . 此時求 f(x)對 2n+1次多項式時 R[f]=0，而當(dāng) f(x)?H2n+1時， f(n+1)(?(x))為 n次多項式 . 若要求對任意 p(x)?Hn，積分 1( ) ( ) ( ) 0 .bna p x x x d x??? ??上頁 下頁 即相當(dāng)于要求 ?n+1(x)與每個 p(x)?Hn帶權(quán) ?(x)在 [a, b]上正交 . 也就是以節(jié)點(diǎn) xk(k=0,1,?,n)為零點(diǎn)的 n+1次多項式 ?n+1(x)是 [a, b]上帶權(quán) ?(x)的正交多項式，于是便有以下定理 . 定理 5 插值型求積公式 ()的節(jié)點(diǎn) xk (k=0,1,2,?,n) 是 高斯點(diǎn)的充要條件 是以這些節(jié)點(diǎn)為零點(diǎn)的多項式 10( ) ( )nnkkx x x? ?????與任何次數(shù)不超過 n的多項式 p(x)帶權(quán) ?(x)正交 ，即 1( ) ( ) ( ) 0 . ( 6 . 7 )bna p x x x d x??? ??上頁 下頁 證明 (必要性 ) 設(shè) p(x)∈ Hn, 則 p(x)?n+1(x)∈ H2n+1, 因此，如果 xk (k=0,1,2,?,n)是高斯點(diǎn)，則求積公式 ()對于 p(x)?n+1(x)精確成立，即有 因 ?n+1(xk)=0 (k=0,1,2,?,n)，故 ()式成立 . 1( ) ( ) ( )bna p x x x d x??? ?? 10( ) ( ) .nk k n kkA p x x? ??? (充分性 ) 對任意 f(x)∈ H2n+1, 用 ?n+1(x)去除 f(x), 則可表示成 1( ) ( ) ( ) ( ) .nf x p x x q x? ???上頁 下頁 其中， p(x)為商式， q(x)為余式， p(x),q(x)均為不超過n次的多項式，于是有 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .b b bna a ax f x d x x p x x d x x q x d x? ? ? ????? ? ?由 ()式有 1( ) ( ) ( ) 0 .bna x p x x d x?? ? ??于是有 ( ) ( ) ( ) ( ) . ( 6 . 8)bbaax f x d x x q x d x?? ???由于 ()是插值型求積公式，故對 q(x)∈ Hn精確成立 ()()ba q x x d x? ??0( ) .nkkkA q x??上頁 下頁 再注意到在節(jié)點(diǎn)處 ωn+1(xk)=0 (k=0,1,2,?,n)，知道有等式 q(xk)= f(xk) (k=0,1,2,?,n)，從而由 ()式有 ( ) ( ) ( ) ( )bbaax f x d x x q x d x?? ???00( ) ( ) .nnk k k kkkA q x A f x??????可見積分公式 ()對一切次數(shù)不超過 2n+1的多項式均精確成立 . 因此 , xk(k=0,1,2,?,n)為 高斯點(diǎn) . 證畢 . 上頁 下頁 定理表明在 [a, b]上帶權(quán) ?(x)的 n+1次正交多項式的零點(diǎn)就是求積公式 ()的高斯點(diǎn)，有了求積節(jié)點(diǎn)xk(k=0,1,?,n)，再利用 ()對 m=0,1,?,n成立，則得到一組關(guān)于求積系數(shù) Ak(k=0,1,?,n)的線性方程組 . 解此方程組則得 Ak(k=0,1,?,n). 也可直接由 xk(k=0,1,?,n)的插值多項式求出求積系數(shù) Ak(k=0,1,?,n). ( ) ( ) ( 0 , 1 , , ) .bkk aA l x x d x k n????上頁 下頁 例 9 確定求積公式 10 0 1 10 ( ) d ( ) ( ) .x f x x A f x A f x???節(jié)點(diǎn) x0, x1及系數(shù) A0, A1，使它具有最高代數(shù)精度 . 解 具有最高代數(shù)精度的求積公式是高斯型求積公式，其節(jié)點(diǎn)為關(guān)于權(quán)函數(shù) ?(x)= x1/2的正交多項式零點(diǎn) x0及 x1，設(shè) 201( ) ( ) ( )x x x x x x 。 當(dāng) f(x)=x時， ? ?221d 2ba x x b a? ? ??左22[]22b a b aab??? ? ?右公式也精確成立 . 當(dāng) f(x)= x2 時， ? ?2 3 31d 3ba x x b a? ? ??左22[ ],2ba ab???右公式對 x2不精確成立 . 故由定理 1知 , 梯形公式的代數(shù)精度為 1次 . 上頁 下頁 例 2 確定求積公式中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精度 . )()()(d)( hfAfAhfAxxfI h h 102 2 1 0 ????? ?? ? 解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式兩端并令其相等，得 ????????????????????????????hAAhhAhAAAhAhAhAAA31623200411321211111101)()()( 解得 hAhAA 3438 011 ????? ,上頁 下頁 得 求積公式 為 令 f (x)=x3，得 )()()(d)( hhfhfhhfxxfI hh 380343822????? ??0380 33223 ????? ??])[(d hhhxxhh令 f (x)=x4，得 544224531638564 hhhhxxh hh????? ??])[(d故 求積公式 具有 3次代數(shù)精度 . 上頁 下頁 如果我們事先選定求積節(jié)點(diǎn) xk，譬如，以區(qū)間[a, b]的等距分點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，這時取 m=n求解方程組即可確定求積系數(shù) Ak，而使求積公式至少具有 n次代數(shù)精度 . 本章第 2節(jié)介紹這樣一類求積公式，梯形公式是其中的一個特例 . 如為了構(gòu)造出上面的求積公式，原則上是一個確定參數(shù) xk和 Ak的代數(shù)問題 . 方程組 ()實際上是一2n+2個參數(shù)的非線性方程組，此方程組當(dāng) n1時求解非常困難，但當(dāng) n=0及 n=1的情形還是可以通過求解方程組得到相應(yīng)的求積公式 . 下面對 n=0討論求積公式的建立及代數(shù)精確度 . 上頁 下頁 此時求積公式為 00( ) ( ) d ( ) ,baI f f x x A f x???其中， x0及 A0為待定參數(shù) . 根據(jù)代數(shù)精確度定義可令 f(x)=1, x，由方程組知 . 022001()2A b aA x b a?????????得 001, ( ) .2A b a x a b? ? ? ?得到的求積公式就是 ()式的中矩形公式 . 再令f(x)=x2，代入 ()式的第三式 上頁 下頁 22 2 2 3 3001( ) ( ) ( ) .2 4 3baa b b aA x b a a b x d x b a????? ? ? ? ? ? ????? ?說明 ()式對 f(x)=x2不精確成立，故它的代數(shù)精確度為 1. 方程組 ()是根據(jù) ()式的求積公式得到的，按照代數(shù)精確度的定義，如果求積公式中除了 f(xi)還有 ??(x)在某些節(jié)點(diǎn)上的值，也同樣可得到相應(yīng)的求積公式 . 上頁 下頁 例 1 給定形如下面的求積公式，試確定系數(shù) A0, A1, B0,，使公式具有盡可能高的代數(shù)精確度 . 10 1 00 ( ) d ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) .f x x A f A f B f ?? ? ?? 解 根據(jù)題意可令 f(x)=1, x, x2分別代入求積公式使它精確成立： 1010110012101 d 1 。本章主要介紹數(shù)值求積分和數(shù)值求微分的方法。故類似于求 ()式的余項可得到 柯特斯公式的余項 為 6 ( 6 )2 ( )[ ] ( ) ( ) , ( , ) . ( 2 .6 )9 4 5 4b a b aR f f a b????? ? ?上頁 下頁 解 ： 由梯形公式得 221 0 . 6 1 1[ ] 0 . 2 4 7 0 5 8 82 1 0 . 6 1 1IT?? ? ? ???由辛普森公式得 2 2 21 0 . 6 1 1 1[ 4 ] 0 . 2 4 4 9 5 4 66 1 0 . 6 1 0 . 8 1 1IS?? ? ? ? ? ?? ? ? 例題 分別用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式計算積分 120 . 61 d1Ixx? ??上頁 下頁 由柯特斯公式得 11213217[90222 ??????????? CI22113 2 7 ] 0 . 2 4 4 9 7 8 71 0 . 9 1 1? ? ? ? ???積分的精確值 24 497 86 c t and1 111 2 ???? ? xxxI上頁 下頁 復(fù)合求積公式 從求積公式的余項的討論中我們看到，被積函數(shù)所用的插值多項式次數(shù)越高，對函數(shù)光滑性的要求也越高 . 另一方面，插值節(jié)點(diǎn)的增多 (n的增大 )，在使用牛頓 柯特斯公式時將導(dǎo)致求積系數(shù)出現(xiàn)負(fù)數(shù) (當(dāng) n≥8時 , 牛頓 柯特斯求積系數(shù)會出現(xiàn)負(fù)數(shù) )，即牛頓 柯特斯公式是不穩(wěn)定的，不可能通過提高階的方法來提高求積精度 . 上頁 下頁 為了提高精度，通常在實際應(yīng)用中往往采用 將積分區(qū)間劃分成若干個小區(qū)間，在各小區(qū)間上采用低次的求積公式 (梯形公式或拋物形公式 )，然后再利用積分的可加性，把各區(qū)間上的積分加起來，便得到新的求積公式，這就是 復(fù)合求積公式 的基本思想 . 為敘述方便，我們僅討論各小區(qū)間均采用同一低次的求積公求積公式，也可推出新的求積公式，讀者可按實際問題的具體情況討論 . 上頁 下頁 將積分區(qū)間 [a, b]n等分 , 步長 n abh ?? xk=a+kh (k=0,1,…, n) , 則由定積分性質(zhì)知 110( ) d ( ) dkknbxax kI f x x f x x????? ???, 分點(diǎn)為 每個子區(qū)間 上的積分 用 低階求積公式 , 然后把所有區(qū)間的 計算結(jié)果求和 ,就得到整個區(qū)間上積分 I的近似值。21d.3A A xA B x xA x x?? ? ????? ? ???????????上頁 下頁 解得 0 1 02 1 1, , .3 3 6A A B? ? ?102 1 1( ) d ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) .3 3 6f x x f f f?? ? ??當(dāng) f(x)=x3時，上式右端為 1/3，而左端是 于是有求積公式 故積分公式對 f(x)=x3不精確成立，其代數(shù)精確度為 2. 1 301d4xx ??上頁 下頁 插值型的求積公式 設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn) bxxxxa nn ?????? ? 110 ?且已知 f(x)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值 f(xk), 則可求得 f(x)的拉格朗日插值多項式 (因為 Ln(x)的原函數(shù)易求 ) ???nkkkn xlxfxL0)()()(其中 lk(x)為插值基函數(shù) , 取 0( ) d ( ) ( )( ( ) d 0, 1 , , ) ( )nbk k nakbkkaI f x x A f x IA l x x k n?? ? ??????由上式確定系數(shù)的公式稱為 插值型求積公式 . xxLxxf ba nba d)(d)( ?? ?即 則 f (x)?Ln(x) 上頁 下頁 插值型求積公式積分法幾何表示 上頁 下頁 由插值余項定理 , 其求積