【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ] ( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !( 1 ) ( 2 ) ( )nbbnn n naaknnq ξq x x dx a x x x x x x dxna h t t t t n dt???????? ? ? ? ??? ? ? ????有 這里變換為 x=a+th，注意 xj=a+jh. 下面我們證明 20( 1 ) ( 2) ( ) 0kt t t t n d t? ? ? ??上頁(yè) 下頁(yè) 作變換 u=tk，則 20( 1 ) ( 2) ( ) 0kt t t t n d t? ? ? ??20( 1 ) ( ( 1 ) ) ( ) ( ( 1 ) ) ( ( 2 1 ) ) ( 2 )( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )kkkt t t k t k t k t k t k d tu k u k u u u u k u k d u?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )u u k u k u u u u k u k? ? ? ? ? ? ? ? ? ?記容易驗(yàn)證 Ψ(u)為奇函數(shù)，即 Ψ(u)=Ψ(u)，而奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分為零，所以 ..0)]([ 1 證畢?? xqR n上頁(yè) 下頁(yè) 定理 3說(shuō)明，當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)，牛頓 柯特斯公式對(duì)不超過(guò) n+1次的多項(xiàng)式均能精確成立，因此，其代數(shù)精度可達(dá)到 n+，當(dāng) n=2k與n=2k+1時(shí)具有相同的代數(shù)精度，因而在實(shí)用中常采用 n為偶數(shù)的牛頓 柯特斯公式，如拋物形公式(n=2)等 . 上頁(yè) 下頁(yè) ( 4 )[ ] ( ) , ( , ) .R f K f a b???? 對(duì)牛頓 柯特斯求積公式通常只用 n=1,2,4時(shí)的三個(gè)公式， n=1時(shí)即為梯形公式 (), 其余項(xiàng)為 ()式 . n=2時(shí)即為辛普森公式 (),其代數(shù)精度為 3，可以證明余項(xiàng)可表示為 45 5 4 44511( ) 44 ! 5 6 21 ( ).4 ! 1 2 0 1 8 0 2b a a bK b a a bb a b a b a?? ?????? ??? ? ? ? ??? ?? ??????????? ? ???? ? ? ? ????其中 K由 ()式及 ()式可得 辛普森公式的余項(xiàng) 上頁(yè) 下頁(yè) 4 ( 4 )()[ ] ( ) ( ) , ( , ) . ( 2 .5 )1 8 0 2b a b aR f f a b????? ? ?從而可得 辛普森公式 ()的余項(xiàng) 為 ( 4 )2()[ ] ( ) ( ) ( ) .4!bafR f x a x c x b dx?? ? ? ??4 ( 4 )() ( ) ( ) , ( , ) .1 8 0 2b a b a f a b????? ? ?也可直接積分計(jì)算得到 對(duì) n=4的柯特斯公式 ()，其代數(shù)精度為 5。故類似于求 ()式的余項(xiàng)可得到 柯特斯公式的余項(xiàng) 為 6 ( 6 )2 ( )[ ] ( ) ( ) , ( , ) . ( 2 .6 )9 4 5 4b a b aR f f a b????? ? ?上頁(yè) 下頁(yè) 解 ： 由梯形公式得 221 0 . 6 1 1[ ] 0 . 2 4 7 0 5 8 82 1 0 . 6 1 1IT?? ? ? ???由辛普森公式得 2 2 21 0 . 6 1 1 1[ 4 ] 0 . 2 4 4 9 5 4 66 1 0 . 6 1 0 . 8 1 1IS?? ? ? ? ? ?? ? ? 例題 分別用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式計(jì)算積分 120 . 61 d1Ixx? ??上頁(yè) 下頁(yè) 由柯特斯公式得 11213217[90222 ??????????? CI22113 2 7 ] 0 . 2 4 4 9 7 8 71 0 . 9 1 1? ? ? ? ???積分的精確值 24 497 86 c t and1 111 2 ???? ? xxxI上頁(yè) 下頁(yè) 復(fù)合求積公式 從求積公式的余項(xiàng)的討論中我們看到，被積函數(shù)所用的插值多項(xiàng)式次數(shù)越高，對(duì)函數(shù)光滑性的要求也越高 . 另一方面，插值節(jié)點(diǎn)的增多 (n的增大 )，在使用牛頓 柯特斯公式時(shí)將導(dǎo)致求積系數(shù)出現(xiàn)負(fù)數(shù) (當(dāng) n≥8時(shí) , 牛頓 柯特斯求積系數(shù)會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù) )，即牛頓 柯特斯公式是不穩(wěn)定的，不可能通過(guò)提高階的方法來(lái)提高求積精度 . 上頁(yè) 下頁(yè) 為了提高精度，通常在實(shí)際應(yīng)用中往往采用 將積分區(qū)間劃分成若干個(gè)小區(qū)間，在各小區(qū)間上采用低次的求積公式 (梯形公式或拋物形公式 )，然后再利用積分的可加性，把各區(qū)間上的積分加起來(lái)，便得到新的求積公式，這就是 復(fù)合求積公式 的基本思想 . 為敘述方便，我們僅討論各小區(qū)間均采用同一低次的求積公求積公式，也可推出新的求積公式，讀者可按實(shí)際問(wèn)題的具體情況討論 . 上頁(yè) 下頁(yè) 將積分區(qū)間 [a, b]n等分 , 步長(zhǎng) n abh ?? xk=a+kh (k=0,1,…, n) , 則由定積分性質(zhì)知 110( ) d ( ) dkknbxax kI f x x f x x????? ???, 分點(diǎn)為 每個(gè)子區(qū)間 上的積分 用 低階求積公式 , 然后把所有區(qū)間的 計(jì)算結(jié)果求和 ,就得到整個(gè)區(qū)間上積分 I的近似值。 1 ( ) dkkxx f x x?? 所用方法 : 上頁(yè) 下頁(yè) 復(fù)合梯形公式 110( ) d ( ) dkknbxax kI f x x f x x????? ???每個(gè)子區(qū)間 [xk, xk+1]上的積分用 梯形公式 (), 得 11( ) d [ ( ) ( )]2kkxkkxhf x x f x f x?????111100( ) d [ ( ) ( ) ] ( ) . ( 3 . 1 )2kknn xk k nxkkhI f x x f x f x R f??????? ? ? ???? 將積分區(qū)間 [a, b]劃分為 n等分 , 則 得到 上頁(yè) 下頁(yè) 11101[ ( ) ( ) ] [ ( ) 2 ( ) ( ) ] . ( 3 . 2 )22nnn k k kkkhhT f x f x f a f x f b?????? ? ? ? ???稱為 復(fù)合梯形公式 ，其余項(xiàng)可由 ()式得 記 3110( ) [ ( ) ] , ( , )12nn n k k kkkhR f I T f x x???????? ? ? ? ??由于存在 f(x)?C2[a,b]，且 101 0101m in ( ) ( ) m ax ( ) ,nk k kkn knkf f fn? ? ????? ?????? ?? ?????所以存在 η?(a,b)使 101( ) ( ) .nkkffn? ????? ??? ?于是 復(fù)合梯形公式的余項(xiàng) 為 2( ) ( ) . ( 3 .3 )12nbaR f h f ?? ????上頁(yè) 下頁(yè) 當(dāng) n→∞ 時(shí)，上式右端括號(hào)內(nèi)的兩個(gè)和式均收斂到函數(shù)的積分，所以復(fù)合梯形公式收斂 . 此外， Tn的求積系數(shù)均為正，由定理 2知復(fù)合梯形公式是穩(wěn)定的 . .)(lim ???? bann dxxfT 可以看出誤差是 h2階，且由誤差公式得到，當(dāng)f(x)?C2[a, b] 時(shí)，則有 即復(fù)合梯形公式是收斂的 . 事實(shí)上只要 f(x)?C[a, b], 則可得到收斂性，因?yàn)橹灰?Tn改寫為 .)()(21110?????? ???? ?????nkknkkn xfnabxfnabT上頁(yè) 下頁(yè) 復(fù)合辛普森求積公式 110( ) d ( ) dkknbxax kI f x x f x x????? ??? 將積分區(qū)間 [a, b] 劃分為 n等分 ，在每個(gè)子區(qū)間[xk, xk+1]上采用 辛普森公式 (),若記 xk+1/2=xk+(1/2)h,則得 11 / 2 10[ ( ) 4 ( ) ( ) ] ( ) . ( 3 . 4 )6nk k k nkh f x f x f x R f????? ? ? ??記 11 / 2 10111 / 201[ ( ) 4 ( ) ( ) ]6( ) 4 ( ) 2 ( ) ( ) . ( 3 . 5 )6nn k k kknnkkkkhS f x f x f xhf a f x f x f b?????????? ? ???? ? ? ????????稱為 復(fù)合辛普森求積公式 . 其余項(xiàng)由 ()式得 上頁(yè) 下頁(yè) 4( 4 )( ) ( ) , ( , ) . ( 3 . 6 )1 8 0 2nnb a hR f I S f a b??? ??? ? ? ? ?????4 1( 4 )10( ) ( ) , ( , ) .1 8 0 2nn n k k k kkb a hR f I S f x x?????? ??? ? ? ? ????? ?于是當(dāng) f(x)?C 4[a,b]時(shí) , 其 求積余項(xiàng) 為 由 ()式看出，誤差階為 h4，收斂性是顯然的，事實(shí)上，只要 f(x)?C [a,b]則可得到 收斂性，即 lim ( ) .bn an S f x d x?? ? ? 此外，由于 Sn中求積系數(shù)均為正數(shù)，故知復(fù)合辛普森公式計(jì)算穩(wěn)定 . 上頁(yè) 下頁(yè) 例 3 對(duì)于函數(shù) f(x)=sinx/x，給出 n=8的函數(shù)表，試用復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公式計(jì)算積分 ?? 10 .s i n dxx xI x f(x) 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 1 解 將積分區(qū)間 [0,1]劃分為 8等分，用復(fù)合梯形公式求得 .9 4 5 6 9 0 ?T而將積分區(qū)間 [0, 1]劃分為 2 4等分，用復(fù)合辛普森公式求得 .9 4 6 0 8 3 ?S并估計(jì)誤差 . 上頁(yè) 下頁(yè) 比較上面兩個(gè)計(jì)算結(jié)果 T8與 S4，它們都需要提供9個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，然而精度卻差別很大，同積分準(zhǔn)確值 I=，應(yīng)用復(fù)合梯形公式計(jì)算的結(jié)果 T8= 2位有效數(shù)字，而應(yīng)用復(fù)合辛普森公式計(jì)算的結(jié)果 S4= 6位有效數(shù)字 . 為了利用余項(xiàng)公式估計(jì)誤差，要求 f(x)=sinx/x的高階導(dǎo)數(shù)，由于 .)c o s (s i n)( 10??? dtxtx xxf所以有 .2c o s)c o s ()( 1010)( ?? ?????? ??? dtkxttdtxtdxdxf kkkk ?上頁(yè) 下頁(yè) 于是 .112c os)(m ax10)(10 ???????? ?? ??? kdtkxttxf kkx?復(fù)合梯形公式誤差 為 .00 04 3181121)(m ax12)(210288 ???????????????xfhTIfRx復(fù)合辛普森公式誤差 為 .514128801)( 6444???????????? SIfR上頁(yè) 下頁(yè) 例 4 利用 復(fù)合梯形公式 計(jì)算 使其誤差限為 104，應(yīng)將區(qū)間 [0, 1]幾等分 ? ,s i n10?? dxx xI 解 利用例 3的結(jié)果 2 2 2 41 0 1 1 1[ ] ( ) 1 0 .1 2 1 2 2 1 3 6nR T h f h h??? ??? ? ? ? ? ? ??取 n=17可滿足要求 . ,106 22 ???????? ? hn