【文章內(nèi)容簡介】 9 346 [] kkkI S f f x f x f??? ? ? ? ? ?? ?? (2) 將區(qū)間 [ 0, 1] 4等分 , 步長 采用復化 Simpson 公式計算 , 仍然利用原來 9 個分點處的函數(shù)值 , 求得 1 ,4h ? 這兩種方法計算量基本相同 , 但所得到的結(jié)果與真值 π= ... 比較可以看出復化 Simpson 公式求得的結(jié)果要精確得多 . 2. 變步長的梯形公式 復化求積公式稱為 定步長的求積公式 ，它對提高精度是行之有 效的。但對于給定的精度， 要確定一個合適的步長往往難以辦到 。 因此實際上一般常采用變步長的求積公式。即讓步長 逐次折半 的過程中，反復使用復化求積公式進行計算，直到相鄰兩次計算結(jié)果之差 的絕對值小于允許精度 ε 的要求時終止計算， 這種方法稱為變步長的求積方法 。 例如 : 對于積分 ( ) ( )baI f f x d x? ?采用變步長的梯形公式進行計算 . 將區(qū)間 [ a , b] n 等分 , 步長 , 按復化梯形公式 bah n??計算時 , 需調(diào)用 n +1 個函數(shù)值。 ? ???????101 )()(2nkkkn xfxfhT 現(xiàn)在將 h 折半 , 再將上述每個區(qū)間 [ xk , xk+1 ] 對分一次 , 分點增至 2n + 1 個 , 設(shè)上述小子區(qū)間的中點為 112 2kkkxxx ????在 [ xk , xk+1 ] 上用復化梯形公式并求和得 1210 21110 21 ()22( ) 2 ( ) ( )4 []nnn knkk kkkh f x f x hTfxT f x??? ?????? ? ? ?? ?上式稱為 變步長的梯形公式 . 即在求 T2n 時 , 可以利用前面已求出的結(jié)果 Tn , 剩下的僅僅需要求出 n 個新分點處的函數(shù)值 . 注意： h = xk+1xk ???????????????? ???)()(221)()(22112121 kkkkk xfxfhxfxfhI變步長的梯形公式的算法 Step 1. 給定精度 ? 0， m為正整數(shù)，步長 h =(b a)/2m。 即將積分區(qū)間分割成 2m等份。 Step 2. 計算 ? ???????12012 )()(2mmkkk xfxfhT這里 .2,1,0, mk khkax ?????Step 3. 計算 ??? ????120 2122 )(2211mmmk kxfhTT這里 .12,1,0,)21(21 ???????mkkhkax ?將每一個小子區(qū)間二等分，即步長折半。 Step 4. 如果 ???? mm TT 22 1，則停止，輸出值 , 12 ?mT否則，置 m = m+1， h : = h/2 ， 轉(zhuǎn)到 Step 3。 例 用變步長的梯形公式計算積分 解 : 對于 , 定義 f (0) = 1, 首先在區(qū)間 [0 , 1] 上用梯形公式（即步長 h = 1） ,求得 sin() xfxx?11 [ ( 0 ) ( 1 ) ] 0 .9 2 0 7 3 5 5 ,2T f f? ? ?將 [0 , 1] 對分 , 它的中點函數(shù)值 , 則有 10 .9 5 8 8 5 1 02()f ?211 1 1 0 . 9 3 9 7 9 3 3 .2 2 2()T T f? ? ?622 1001??? TT如果 不成立，則 h := h/2 = 1/2 ， 計算 10sin xI dxx? ?（精確到 106） 如此繼續(xù)下去 , 計算結(jié)果如下表 ??? ???120 2122112 )(221k kxfhTT32T622 1012??? TT如果 不成立，則 h := h/2 = 1/4 ， 繼續(xù)計算 。 ???????? ??? )()(22123212 xfxfhT?????? ??? )43()41(221 2 ffhT.9 4 4 5 1 3 ?k k T 2k T 2k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 735 5 793 3 513 5 690 9 985 0 059 6 076 9 081 5 082 7 083 0 083 1 從上表可看出 , 將積分區(qū)間對分了 10次 , 求得 I 的近似值為 (積分精確值為 . . . ), 可見收斂速度比較緩慢。 為了加速變步長梯形公式的收斂速度，我們采用外推策略。 3. Richardson外推算法 若用一個步長為 h 的函數(shù) I1( h ) 去逼近問題 I , 設(shè)其 截斷誤差可表示為 為了提高逼近的精度， 選取 q 為滿足 的 正數(shù) , 將上式 (1)中的 h 換為 qh , 則有 110Pq??其中 )2,1(,)1( ??kak是與 h無關(guān)的常數(shù) ,并且 ?? ?????? ? kk PPPP 1210 ， 12( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 2() kppp kI I h a h a h a h? ? ? ? ? ?() 由 (1) 可知 I1(h)逼近 I的誤差為 )(1PhO。 12( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) kPPP kI I qh a qh a qh a qh? ? ? ? ? ?() 2112111 11 ) ( 1 )1 (12 1( ) (1)1kkPP P PPkPPPPPq q q qI a a hqqI q h q I h hq??? ? ??? ??? ?() 式減上式 , 得 式 (1)兩端同乘以 1Pq 得 ][)]([ )1()1(2)1(11 2111 ?? ?????? kPkPPPP hahahaqhIIq12( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 2() kppp kI I h a h a h a h? ? ? ? ? ? () 12( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) kPPP kI I qh a qh a qh a qh? ? ? ? ? ?() 2112111 11 ) ( 1 )1 (12 1( ) (1)1kkPP P PPkPPPPPq q q qI a a hqqI q h q I h hq??? ? ??? ??? ?則 I2(h) 逼近 I 誤差降為 2().POh11112( ) ( )()1PPI q h q I hIhq???,1,1 11112)1()2()1(2)2(2 ?PPPkkPPPqqqaaqqqaa k??????令 其中 是與 h無關(guān)的常數(shù) ,則有 ),3,2(,)2( ??iai?? ?????? kPkPP hahahahII )2()2(3)2(22 32)(， 如此繼續(xù)。 一般地 , 選取 q 為滿足 的正數(shù) , 由此得到序列 1 0 , ( 1 , 2 , )mPqm? ? ?1( ) ( )()1 ( 1 , 2 , )mmPmmm PI q h q I hIh mq???? ?則 Im+1 ( h ) 逼近 I 的誤差由下面的定理給出。 定理 設(shè) I1 ( h ) 逼近 I 的截斷誤差由下式給出 12( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 2() kppp kI I h a h a h a h? ? ? ? ? ?則 Im+1 ( h )逼近 I 的截斷誤差為 12( 1 ) ( 1 )1 1 2() mmppmmm m mI I h a h a h????? ? ?? ? ? ?其中 是與 h 無關(guān)的常數(shù)。 ( 1 ) ( 1 , 2 , )mia i m m? ? ? ?這種利用序列 {Im+1(h)} 逐步加速去逼近 I 的方法 稱為 Richardson外推算法 Richardson外推公式 4. Romberg 算法 Romberg 算法是利用變步長的梯形求積序列 外推加速 來逼近積分真值的算法 . 2{}kT考慮積分 ( ) .baI f x dx? ?由復化梯形公式有 11( ) 2 ( ) ( ) ,2[]nnkkhI T f a f x f b??? ? ? ??現(xiàn)在將 Tn 記為 T1( h ), 則 T2n 為 T1(h/2) 且 111( ) ( ) 2 ( ) ( ) .2[]nkkhT h f a f x f b??? ? ????? ???10 212 )(221 nk knn xfhTT 設(shè) f (x) 在區(qū)間 [a , b] 上任意次可微 , 根據(jù) EulerMaclaurin公式有 2 4 21 1 2( ) .kkI T h h h h? ? ?? ? ?