數(shù)值分析ppt課件(編輯修改稿)
2025-05-26 02:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 )(xf x *x *)(xf)(xf * ))(( xf? 一般情況下，當(dāng)自變量有誤差時(shí)函數(shù)值也產(chǎn)生誤差， ，之間介于 *,*)(2)(*)* ) ((*)()( 2xxxxfxxxfxfxf?? ????????取絕對值得 * ) .(2 )(*)(*)(*)()( 2 xfxxfxfxf ??? ??????其誤差限可利用函數(shù)的泰勒展開式進(jìn)行估計(jì) . 利用泰勒展開 33 * ) .(*)(* ) )(( xxfxf ?? ?? 當(dāng) 為多元函數(shù)，如計(jì)算 時(shí) , f ),(1 nxxfA ?? 的近似值為 ， nxx ,1 ? **1 , nxx ? 則 的近似值為 A),(* **1 nxxfA ??于是由泰勒展開， 函數(shù)值 的誤差 為 *A *)(Ae 假定 與 的比值不太大，可忽略 *)(xf ? *)(xf ?? *)(x?的高階項(xiàng)， 于是可得計(jì)算函數(shù)的誤差限 如果 34 AAAe ?? **)(于是誤差限 。)(*)(1**????????????? nkkkxxfA ??（ ） ?????????????? nkkkkn xxxxxf1***1 )(),( ?,1**????????????? nkkkexf),(),( 1**1 nn xxfxxf ?? ??35 而 的相對誤差限為 *A*)(* Arr ?? ? .*)(1**????????????? nkkk Axxf ? （ ） **)(AA??36 已測得某場地長 的值為 ， l m110* ?l 寬 的值 d為 ， m80* ?d 已知 . *,* ???? ddll試求面積 的絕對誤差限與相對誤差限 . lds? 因 , ldsdlslds ???????),()(*)( ****ddsllss ??? ??????????????????????????????? nkkkxxfA1**)(*)( ??知 例 4 解 由 37 其中 ,m80**???????? ?? dls而 ,*)( ?l? 于是絕對誤差限 )。m(27)(110)(80*)( 2?????s?相對誤差限 **)(*)(sssr?? ?m,1 10**???????? ?? lds,*)( ?d?***)(dls?? %.880027 ??38 誤差定性分析與避免誤差危害 一個(gè)工程或科學(xué)計(jì)算問題往往要運(yùn)算千萬次，由于每 步運(yùn)算都有誤差，如果每步都做誤差分析是不可能的，也 不科學(xué) . 因?yàn)檎`差積累有正有負(fù)，絕對值有大有小，都按最壞 情況估計(jì)誤差限得到的結(jié)果比實(shí)際誤差大得多，這種保守 的誤差估計(jì)不反映實(shí)際誤差積累 . 39 考慮到誤差分布的隨機(jī)性，有人用概率統(tǒng)計(jì)方法，將 數(shù)據(jù)和運(yùn)算中的舍入誤差視為適合某種分布的隨機(jī)變量， 20世紀(jì) 60年代以后對舍入誤差分析提出了一些新方法， 然后確定計(jì)算結(jié)果的誤差分布，這樣得到的誤差估計(jì)更接近實(shí)際， 這種方法稱為 概率分析法 . 較重要的有 向后誤差分析法 和 區(qū)間分析法 兩種 . 40 1. 向后誤差分析法是把新算出的量由某個(gè)公式表達(dá)， ).,( 1 naagx ??若 的攝動(dòng)為 ， ia i?).,( 11 nnfl aagx ?? ??? ?它僅含基本算術(shù)運(yùn)算，如假定 是前面已算出的量 naa ,1 ?或原始數(shù)據(jù)，新算出量 使得由浮點(diǎn)運(yùn)算得出結(jié)果為 則可根據(jù) 的界， i?的界，威克遜 (Wilkinson)將這種方法應(yīng)用于數(shù)值代數(shù) (矩陣運(yùn)算 )的誤差分析，取得較好效果 . flxx ?由攝動(dòng)理論估計(jì)最后舍入誤差 41 2. 區(qū)間分析法是把參加運(yùn)算的數(shù) 都看成區(qū) 間量 ，根據(jù)區(qū)間運(yùn)算規(guī)則求得最后結(jié)果的近似 值及誤差限 . ?, zyx?, ZYX 例如， 的近似數(shù)為 ， yx, ??,],[ Xx ???? ??????,??? ??x則 ,],[ Yy ???? ??????由于 ,??? ??y42 若計(jì)算 (*為運(yùn)算符號(hào) )， yxz ??YXZ ??而 則為誤差限 . z?則 為所求近似值， z由 ],[ zz? ],[ zzzz ?? ???43 病態(tài)問題與條件數(shù) 對一個(gè)數(shù)值問題本身 , 如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動(dòng)（即誤 差），引起輸出數(shù)據(jù)（即問題解）相對誤差很大，這就是 病 態(tài)問題 . 例如計(jì)算函數(shù)值 時(shí)， )(xf 若 有擾動(dòng) ，其 x *xxx ???相對誤差為 ， xx? 函數(shù)值 的相對誤差為 *)(xf.)( *)()( xf xfxf ?44 ,)( )(/)( *)()( pCxf xfxx xxf xfxf ?????（ ） 稱為計(jì)算函數(shù)值問題的 條件數(shù) . pC相對誤差比值 自變量相對誤差一般不會(huì)太大，如果條件數(shù) 很大， pC將引起函數(shù)值相對誤差很大，出現(xiàn)這種情況的問題就是 病態(tài)問題 . 45 例如， ， nxxf ?)(它表示相對誤差可能放大 倍 . n 如 ， 10?n 有 ， )(,1)1( ?? ff,* ?x 自變量相對誤差為 ， %2 函數(shù)值相對誤差為 ， %24 一般情況下 ,條件數(shù)
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