【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 Y 阜師院數(shù)科院 第六章 函數(shù)逼近 620 最小二乘法求其擬合函數(shù) 舉例（續(xù)） 例 4 已知數(shù)據(jù)如下表，求一個(gè)二次多項(xiàng)式，使之與所給數(shù)據(jù)擬合： xi 1 0 1 yi 1 解： 從函數(shù)值的分布情況看，該函數(shù)可能為一偶函數(shù)，故考慮用 偶次多項(xiàng)式作擬合函數(shù)，為此，取 ?0(x)=1,?1(x)=x2于是所求二次 多項(xiàng)式可設(shè)為： ?(x)=a0+a1x2, 而 G為 : 210108 6 9 4 2 8 6 2 4 8 5 )(8 6 9 4 2 8 ,1 6 2 4 8 5 2 5 3 7 9 8 1 2 2 5 3 7 9 8 1 2 4 8 0 0 4 9 1 110111xxaaaayGGGyGTT??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????從而得到擬合多項(xiàng)式：解得因此正規(guī)方程組為：故 從此例題看到，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)特 點(diǎn)進(jìn)行分析，確定選用不帶一次項(xiàng) 的二次多項(xiàng)式為擬合函數(shù)，不僅符 合原來(lái)函數(shù)的 特征，而且使 計(jì)算 更加簡(jiǎn)單 ?？梢?jiàn)，在實(shí)際問(wèn)題中選 擇 合適的函數(shù)類型是十分重要的。 W Y 阜師院數(shù)科院 第六章 函數(shù)逼近 621 非線性最小二乘擬合 當(dāng)最小二乘擬合所取函數(shù)類 φ中的函數(shù) F= ?(x,a0,a1,…, am)關(guān)于參數(shù) a0,a1,…, am是非 線性時(shí)，稱為非線性最小二乘擬合問(wèn)題。 對(duì)非線性最小二乘擬合問(wèn)題，雖然仍可 由偏差平方和對(duì) aj求偏導(dǎo)生成方程組 : ),1,0( 0 mjaFj????? 但是，與線性最小二乘問(wèn)題不同的是，上述方程 組是關(guān)于 ak(k=0,1,…, m) 的非線性方程組，要求解是 很困難的，因此，一般的非線性最小二乘擬合問(wèn)題 不作詳細(xì)討論。 W Y 阜師院數(shù)科院 第六章 函數(shù)逼近 622 可化為線性擬合問(wèn)題的常見(jiàn)函數(shù)類 但對(duì)于一些較特殊的非線性擬合函數(shù)類型，可以通過(guò)適當(dāng) 的變量代換后化為線性最小二乘問(wèn)題，下表列出了部分這 樣的擬合函數(shù)類型。 可化為線性擬合問(wèn)題的常見(jiàn)函數(shù)類 : 22222222//1)/(/1,/1)/(/1)/(1/1,)0)(/(1)ln(1,ln)0(xcxbayxxxcxbaycbxaxyyxycbxaxxycbxaxyyycbxaxyxbayxxyybaxxybaxyyybaxyxbayyyexabeayaaxbayxxyyaaeyxxxb????????????????????????????????????????????????設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)擬合函數(shù)類型 變量代換 化成的擬合函數(shù) W Y 阜師院數(shù)科院 第六章 函數(shù)逼近 623 非線性擬合舉例 例 5 在某化學(xué)反應(yīng)里，根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得生成物的濃度與時(shí)間 關(guān)系數(shù)據(jù)見(jiàn)下表，求濃度 y與時(shí)間 t 的擬合曲線 y = F(t)： ti 1 2 3 4 5 6 7 8 yi(*103) ti 9 10 11 12 13 14 15 16 yi(*103) 解： 將數(shù)據(jù)標(biāo)在坐標(biāo)紙上如 圖 62由圖看到開(kāi)始時(shí)濃度增加 較快，后來(lái)逐漸減弱，到一定時(shí)間就基本穩(wěn)定在一個(gè)數(shù)值 上。即當(dāng) t??時(shí)， y超于某個(gè)定數(shù)，故有一水平漸近線。 t ? 0時(shí)，反應(yīng)未開(kāi)始，生成物的濃度為零。根據(jù)這些 特 點(diǎn)，可設(shè)想 y = F(t) 是 雙曲線型 或 指數(shù)型曲線 。 （緊接下屏） W Y 阜師院數(shù)科院 第六章 函數(shù)逼近 624 非線性擬合舉例（續(xù) 1） battytbay ???? 即,1可見(jiàn) y關(guān)于參數(shù) a, b是非線性的為確定 a, b可令： ttyy 1,1 ??6 10 8 6 4 2 2 y x 18 16 14 12 10 8 4 0 圖 62 （ 1）取擬合函數(shù)為 雙曲線型： W Y 阜師院數(shù)科院 第六章 函數(shù)逼近 625 非線性擬合舉例（續(xù) 2） )( , 133????????????????tttFybababa從而得由此解得直接構(gòu)成正規(guī)方程組：則擬合函數(shù)化為 y = a + b t，而將數(shù)據(jù) (ti , yi) 相應(yīng)地變 為 (ti , yi)，如下表： ti 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 yi(*103) ti 1/9 1/10 1/11 1/12 1/13 1/14 1/15 1/16 yi(*103) W Y 阜師院數(shù)科院 第六章 函數(shù)逼近 626 非線性擬合舉例（續(xù) 3） （ 2）取擬合函數(shù)為 指數(shù)型 tbayaattyytbaybaeytb??????????則擬合函數(shù)化為令對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù),ln,/1,ln/lnln0)( /tetFy /0 5 6 6 101 3 2 5 )( ????? 那么，怎樣比較兩個(gè)數(shù)學(xué)模型的好壞呢？一般可通過(guò)比較 擬合函數(shù)與所給數(shù)據(jù)誤差大小來(lái)確定。對(duì)此例可計(jì)算得 ： 同擬合函數(shù)為雙曲線型過(guò)程類似，先由 (ti , yi)算出相應(yīng)的 (ti , yi)，然后進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，解得 a = ,b= ? ，從而得 a = e a = 10－ 2，所以擬合函數(shù)： W Y 阜師院數(shù)科院 第六章 函數(shù)逼近 627 非線性擬合舉例（續(xù) 4） 而均方誤差為： 可見(jiàn) y = F2(t) 的誤差比較小， 用它作為擬合曲線更好。 從此例也可看到，選擬合曲線的類型，并不是一開(kāi)始 就能選好，往往要通過(guò)分析若干模型的誤差后，再經(jīng)過(guò)實(shí) 際計(jì)算才能選到較好的模型。 3215031150102 7 )(m a x,)(m a x????????????iiiiiitFytFy415022315021))((161,))((161????????????iiiiiitFytFyW Y 阜師院數(shù)科院 第六章 函數(shù)逼近 628 167。 3 正交多項(xiàng)式曲線擬合 求解線性最小二乘問(wèn)題，必須求解正規(guī)方程組，然而困 難的是最小二乘法的正規(guī)方程組往往是病態(tài)的，在（ 65） 中，當(dāng) ?k(x)=xk時(shí)，正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣： ??????????????????????????mimimimiinimiiixxxxxxxxxxn211322?????與矩陣 ： ???????????????????)12/(1111)1/(13/12/1/13/12/11mmmmm?????（緊接下屏） W Y 阜師院數(shù)科院 第六章 函數(shù)逼近 629 正交多項(xiàng)式曲線擬合（續(xù)） 是病態(tài)陣一樣， m不大時(shí)還好， 當(dāng) m較大時(shí)為病態(tài) 陣（ m太大，大小都為病態(tài)的）。因此，在實(shí)際應(yīng) 用時(shí)， m不能太大，也即曲線擬合的多項(xiàng)式的次數(shù) 不會(huì)太大，多用低次的。 因此，一般情況下，對(duì)線性最小二乘問(wèn)題，要 得到最小二乘擬合多項(xiàng)式 ,就面臨著要求解病態(tài)方 程組這一困難，要克服這一困難。可以選用適用于 病態(tài)方程組求解