【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 求它反映原函數(shù)整體的變化趨勢(shì)。（2）插值法在節(jié)點(diǎn)處取函數(shù)值。實(shí)際給出的數(shù)據(jù)，總有觀測(cè)誤差的，而所求的插值函數(shù)要通過(guò)所有的節(jié)點(diǎn)，這樣就會(huì)保留全部觀測(cè)誤差的影響，如果不是要求近似函數(shù)過(guò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是要求它反映原函數(shù)整的變化趨勢(shì)，那么就可以用數(shù)據(jù)擬合的方法得到更簡(jiǎn)單活用的近似函數(shù)。在前面所討論的各種插值方法中，始假設(shè)數(shù)據(jù)點(diǎn)是精確的，準(zhǔn)確的，不可修改的，所要求出的插值曲線(xiàn)必須通過(guò)每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。但在實(shí)際工作中由于各隨機(jī)因素的干擾，所得到的數(shù)據(jù)往往不同程度存在著誤差。因此，插值方法只能適用那些誤差可以忽略不記的情況，當(dāng)誤差較大而不能忽略時(shí)，又如何通過(guò)這些觀測(cè)數(shù)據(jù)確定其內(nèi)在的變化規(guī)律呢？本節(jié)所介紹的曲線(xiàn)擬合就是解決這一問(wèn)題的主要方法之一。 直線(xiàn)擬合由給定的一組測(cè)定的離散數(shù)據(jù)（），求自變量和因變量的近似表達(dá)式的方法。影響因變量只有一個(gè)自變量的數(shù)據(jù)擬合方法就是直線(xiàn)擬合。直線(xiàn)擬合最常用的近似標(biāo)準(zhǔn)是最小二乘原理，它也是流行的數(shù)據(jù)處理方法之一。直線(xiàn)擬合步驟如下：(1) 做出給定數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖（近似一條直線(xiàn)）。(2) 設(shè)擬合函數(shù)為：然后，這里得到的和可能不相同，記它們的差為：稱(chēng)之為誤差。在原始數(shù)據(jù)給定以后，誤差只依賴(lài)于的選取，因此，可以把誤差的大小作為衡量的選取是否優(yōu)良的主要標(biāo)志。最小二乘法便是確定“最佳” 參數(shù)的方法，也就是要誤差的平方和達(dá)到最小。(3) 寫(xiě)出誤差和表達(dá)式：要選擇而使得函數(shù)最小，可以用數(shù)學(xué)分析中求極值的方法，即先分別對(duì)求偏導(dǎo)，再使偏導(dǎo)等于零，就可得到所謂的正規(guī)方程組。(4) 正規(guī)方程組：，；整理：(5) 求解正規(guī)方程組，得。(6) 確定的具體表達(dá)式。例如44：已知觀測(cè)數(shù)據(jù)如表31所示，求它的擬合曲線(xiàn)。xi12345yi468表31 觀測(cè)數(shù)據(jù)解：根據(jù)所給數(shù)據(jù)，在直角坐標(biāo)下畫(huà)出數(shù)據(jù)點(diǎn)，從圖31中可以看出，各點(diǎn)在一條直線(xiàn)附近，故可取線(xiàn)性函數(shù)作為擬合曲線(xiàn)圖31 坐標(biāo)數(shù)據(jù)點(diǎn)附近做直線(xiàn)令將數(shù)據(jù)帶入公式得，解得。因此而得所求擬合曲線(xiàn)為 曲線(xiàn)擬合設(shè)有一組數(shù)據(jù)對(duì)（）求連續(xù)變量的一個(gè)函數(shù)，它在處誤差為，使總體誤差按某種算法達(dá)到最?。Ｓ玫娜N準(zhǔn)則是:（1）使得誤差的最大的絕對(duì)值為最小，即 ；（2）使誤差的絕對(duì)值和最小，即 ；（3）使誤差的平方和為最小，即 ；由于準(zhǔn)測(cè)（1）、（2）含有絕對(duì)值不便于處理，通常采用準(zhǔn)測(cè)（3），并稱(chēng)基于準(zhǔn)則（3）來(lái)選取擬合曲線(xiàn)的方法，為曲線(xiàn)擬合的最小二乘法。 多項(xiàng)式擬合一般而言，所求得的擬合函數(shù)可以使不同的函數(shù)，其中最簡(jiǎn)單的是多項(xiàng)式，此時(shí)稱(chēng)為多項(xiàng)式擬合，具體定義如下：設(shè)有給定的數(shù)據(jù)（），假設(shè)其擬合函數(shù)形式為，求系數(shù) ，使得。取最小值．稱(chēng)m次多項(xiàng)式為m次最小二乘擬合多項(xiàng)式(或m次最小平方逼近多項(xiàng)式)。特別地，當(dāng)m=1時(shí)，稱(chēng)為線(xiàn)性最小二乘擬合。容易看出是系數(shù)的m+1元二次多項(xiàng)式(二次型)，所以可以用多元函數(shù)求極值的方法求其最小值和最小值。將對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)得到駐點(diǎn)方程組：，即將方程整理，得到： 插值逼近 定義與發(fā)展定義：在離散數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上補(bǔ)插連續(xù)函數(shù)，使得這條連續(xù)曲線(xiàn)通過(guò)全部給定的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)。插值是離散函數(shù)逼近的重要方法，利用它可通過(guò)函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)處的取值狀況，估算出函數(shù)在其他點(diǎn)處的近似值。插值：用來(lái)填充圖像變換時(shí)像素之間的空隙。發(fā)展：早在6世紀(jì)，中國(guó)的劉焯已將等距二次插值用于天文計(jì)算。 17世紀(jì)之后。在近代，插值法仍然是數(shù)據(jù)處理和編制函數(shù)表的常用工具，又是數(shù)值積分、數(shù)值微分、非線(xiàn)性方程求根和微分方程數(shù)值解法的重要基礎(chǔ)，許多求解計(jì)算公式都是以插值為基礎(chǔ)導(dǎo)出的。 主要內(nèi)涵插值問(wèn)題的提法是：假定區(qū)間[a，b]上的實(shí)質(zhì)函數(shù)f（x）在該區(qū)間上 n+1個(gè)互不相同點(diǎn)x0，x1……xn 處的值是f (x0)，……f（xn），要求估算f（x）在[a，b]中某點(diǎn)x*的值?；舅悸肥牵业揭粋€(gè)函數(shù)P(x)，在x0，x1……xn 的節(jié)點(diǎn)上與f(x)函數(shù)值相同(有時(shí)，甚至一階導(dǎo)數(shù)值也相同)，用P(x*)的值作為函數(shù)f(x*)的近似。 其通常的做法是：在事先選定的一個(gè)由簡(jiǎn)單函數(shù)構(gòu)成的有n+1個(gè)參數(shù)C0，C1，……Cn的函數(shù)類(lèi)Φ(C0，C1，……Cn)中求出滿(mǎn)足條件P（xi）=f（xi）（i=0，1，…… n）的函數(shù)P(x)，并以P()作為f()的估值。此處f（x）稱(chēng)為被插值函數(shù)，x0，x1，……xn稱(chēng)為插值結(jié)(節(jié))點(diǎn)，Φ(C0，C1，……Cn)稱(chēng)為插值函數(shù)類(lèi)，上面等式稱(chēng)為插值條件，Φ（C0，……Cn）中滿(mǎn)足上式的函數(shù)稱(chēng)為插值函數(shù)，R（x）= f（x）－P（x）稱(chēng)為插值余項(xiàng)。當(dāng)估算點(diǎn)屬于包含x0，x1……xn的最小閉區(qū)間時(shí)，相應(yīng)的插值稱(chēng)為內(nèi)插，否則稱(chēng)為外插。 基本類(lèi)型這是最常見(jiàn)的一種函數(shù)插值。在一般插值問(wèn)題中，若選取Φ為n次多項(xiàng)式類(lèi)，由插值條件可以唯一確定一個(gè)n次插值多項(xiàng)式滿(mǎn)足上述條件。從幾何上看可以理解為：已知平面上n+1個(gè)不同點(diǎn)，要尋找一條n次多項(xiàng)式曲線(xiàn)通過(guò)這些點(diǎn)。插值多項(xiàng)式一般有兩種常見(jiàn)的表達(dá)形式，一個(gè)是拉格朗日插值多項(xiàng)式，另一個(gè)是牛頓插值多項(xiàng)式。2. 埃爾米特插值對(duì)于函數(shù)f（x），常常不僅知道它在一些點(diǎn)的函數(shù)值，而且還知道它在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。這時(shí)的插值函數(shù)P（x），自然不僅要求在這些點(diǎn)等于f(x）的函數(shù)值，而且要求P（x）的導(dǎo)數(shù)在這些點(diǎn)也等于f（x)的導(dǎo)數(shù)值。這就是埃爾米特插值問(wèn)題，也稱(chēng)帶導(dǎo)數(shù)的插值問(wèn)題。從幾何上看，這種插值要尋求的多項(xiàng)式曲線(xiàn)不僅要通過(guò)平面上的已知點(diǎn)組，而且在這些點(diǎn)（或者其中一部分）與原曲線(xiàn)“密切”，即它們有相同的斜率?？梢?jiàn)埃爾米特插值多項(xiàng)式比起一般多項(xiàng)式插值有較高的光滑逼近要求。3. 分段插值與樣條插值為了避免高次插值可能出現(xiàn)的大幅度波動(dòng)現(xiàn)象，在實(shí)際應(yīng)用中通常采用分段低次插值來(lái)提高近似程度，比如可用分段線(xiàn)性插值或分段三次埃爾米特插值來(lái)逼近已知函數(shù)，但它們的總體光滑性較差。為了克服這一缺點(diǎn)，一種全局化的分段插值方法——三次樣條插值成為比較理想的工具。 4. 三角函數(shù)插值當(dāng)被插函數(shù)是以2π為周期的函數(shù)時(shí)，通常用n階三角多項(xiàng)式作為插值函數(shù)，并通過(guò)高斯三角插值表出。5. 辛克插值在抽樣信號(hào)中我們以使用辛克插值，它可以由樣品值完美地重建原始信號(hào)。著名的抽樣定理表述，對(duì)于正確的抽樣信號(hào)s(t)，原始信號(hào)可以由抽樣值sk進(jìn)行重建，其公式為： 這里sk代表在時(shí)間tk=t0+k*T時(shí)的抽樣值，T是抽樣時(shí)間，它的倒數(shù)1/T叫做抽樣頻率。此公式表示，已知在規(guī)則分布的區(qū)間中的抽樣值sk，我們就可以根據(jù)辛克函數(shù)先測(cè)出抽樣值，然后將它們相加，這樣計(jì)算出任意時(shí)間t上的值。matlab中使用插值函數(shù)第4章 基于matlab的數(shù)值逼近程序設(shè)計(jì) 分段插值我們用高次插值多項(xiàng)式是不妥當(dāng)?shù)?，從?shù)值計(jì)算上可解釋為高次插值多項(xiàng)式的計(jì)算會(huì)帶來(lái)舍入誤差的增大，從而引起計(jì)算失真。因此，實(shí)踐上作插值時(shí)一般只用一次、二次最多用三次插值多項(xiàng)式。那么如何提高插值精度呢？采用分段插值是一種辦法。分段線(xiàn)性插值方法在速度和誤差之間取得了比較好的均很，其插值函數(shù)具有連續(xù)性，但在已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的斜率一般不會(huì)改變，因此不是光滑的。分段線(xiàn)性插值方法是matlab一維插值默認(rèn)的方法。 定義設(shè)f(x)是定義在[a,b]上的函數(shù)，在[a,b]上節(jié)點(diǎn)a= x0 x1x2…xn1xn=b,的函數(shù)值為 y0 , y1 ,y2 ,…yn1 ,yn,若函數(shù)j(x)滿(mǎn)足條件(1) j(x)在區(qū)間[a , b]上連續(xù)。(2) j(x)在每個(gè)子區(qū)間[xi , xi+1](i=0,1,2,…,n1)上是次數(shù)為m的多項(xiàng)式。則稱(chēng)j(x)是f(x)在[a ,b]上的分段m次插值多項(xiàng)式，m=1稱(chēng)為分段線(xiàn)性插值。m=2稱(chēng)為分段拋物線(xiàn)插值。由定義， j(x)在每個(gè)子區(qū)間[xi , xi+1](i=0,1,2,…,n1)上是一次插值多項(xiàng)式。圖41 分段線(xiàn)性插值曲線(xiàn)圖 分段插值計(jì)算例41：設(shè)（1 ≤x ≤1）；將[1，1] 10 等份，用分段線(xiàn)性插值近似計(jì)算f()。解：插值節(jié)點(diǎn)為xi=1+ i/5 (i=0,1,…,10),h=1/5因?yàn)?∈[1,],取此區(qū)間為線(xiàn)性插值區(qū)間，其上的插值函數(shù)為所以f()187。 j()= 基于matlab分段插值實(shí)現(xiàn)Matlab分段插值命令：interp1功能:一維數(shù)據(jù)插值。該命令對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間計(jì)算內(nèi)插值。它找出一元函數(shù)f(x)在中間點(diǎn)的數(shù)值。其中函數(shù)f（x）由所給數(shù)據(jù)決定。格式：yi=interp1（x，y，xi） 其中x，y為原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，xi，yi為插值點(diǎn)。由上面的例題基于matlab分段插值程序設(shè)計(jì)：(1)。(2)在m文件中進(jìn)行程序設(shè)計(jì)：%對(duì)原數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行定義x=[1::1]。y=(1+25*x.^2).^1%對(duì)插值點(diǎn)進(jìn)行定義x0=[1:2/10:1]。y0=(1+25*x0.^2).^1y1=interp1(x,y,x0)。%進(jìn)行分段插值%x1=。%計(jì)算f（）%y2=(1+25*x1.^2).^1y2=interp1(x,y,x0)figure%畫(huà)出分段插值圖形%plot(x0,y0,39。o39。,x0,y1,39。b39。)。legend(39。原曲線(xiàn)39。,39。分段線(xiàn)性插值曲線(xiàn)39。)。 小結(jié)實(shí)際上，上面介紹的分段低次插值，雖然具有計(jì)算簡(jiǎn)便，收斂性有保證，數(shù)值穩(wěn)定性又好且易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但它卻不能保證整條曲線(xiàn)的光滑性，從而不能滿(mǎn)足某些工程技術(shù)上的要求，從六十年代開(kāi)始，首先由于航空、造船等工程設(shè)計(jì)的需要而發(fā)展起來(lái)的樣條插值（spline)方法，既保留了分段低次插值的各種優(yōu)點(diǎn)，又提高了插值函數(shù)的光滑性，在許多領(lǐng)域顯得越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。 拉格朗日插值 線(xiàn)性插值給定兩個(gè)插值點(diǎn)其中，怎樣做通過(guò)這兩點(diǎn)的一次插值函數(shù)？過(guò)兩點(diǎn)作一條直線(xiàn)，這條直線(xiàn)就是通過(guò)這兩點(diǎn)的一次多項(xiàng)式插值函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)線(xiàn)性插值（如圖42）。圖42 拉格朗日線(xiàn)性插值在初等數(shù)學(xué)中，可用兩點(diǎn)式、點(diǎn)斜式或截距式構(gòu)造通過(guò)兩點(diǎn)的一條直線(xiàn)。下面先用待定系數(shù)法構(gòu)造插值直線(xiàn)。設(shè)直線(xiàn)方程為，將分別代入直線(xiàn)方程得：當(dāng)時(shí)，因，所以方程組有解，而且解是唯一的。這也表明，平面上兩個(gè)點(diǎn)，有且僅有一條直線(xiàn)通過(guò)。用待定系數(shù)法構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法簡(jiǎn)單直觀，容易看到解的存在性和惟一性，但要解一個(gè)方程組才能得到插值函數(shù)的系數(shù)，因工作量較大和不便向高階推廣，故這種構(gòu)造方法通常不宜采用。當(dāng)時(shí)，若用兩點(diǎn)式表示這條直線(xiàn)，則有：。這種形式稱(chēng)為拉格朗日插值多項(xiàng)式。記　；，稱(chēng)為插值基函數(shù)，計(jì)算，的值，易見(jiàn)在拉格朗日插值多項(xiàng)式中可將看做兩條直線(xiàn)，的疊加，并可看到兩個(gè)插值點(diǎn)的作用和地位都是平等的。拉格朗日插值多項(xiàng)式型式免除了解方程組的計(jì)算，易于向高次插值多項(xiàng)式型式推廣。 二次朗格拉日插值給定三個(gè)插值點(diǎn)，,其中互不相等，怎樣構(gòu)造函數(shù)的二次的（拋物線(xiàn)）插值多項(xiàng)式？平面上的三個(gè)點(diǎn)能確定一條次曲線(xiàn)，如圖43所示。