【正文】 rogramming language and development environment, the numerical approximation algorithm for programming, and a graphical description. All the results show that, using different approximation methods, the use of Matlab programming can be simple, effective realization of function approximation.Key words: Matlab, function approximation, Lagrange interpolation, curve fitting目 錄第1章 緒 論 1 背景 1 Matlab的發(fā)展 1 數(shù)值逼近 2 研究意義 3 論文結(jié)構(gòu) 3第2章 MATLAB簡(jiǎn)介 4 基本功能 4 基本應(yīng)用 5 系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 6 MATLAB開發(fā)環(huán)境 6 MATLAB數(shù)學(xué)函數(shù)庫(kù) 7 MATLAB語(yǔ)言 7 MATLAB圖形處理系統(tǒng) 7 MATLAB應(yīng)用程序接口 7 特點(diǎn)與優(yōu)勢(shì) 8 特點(diǎn) 8 優(yōu)勢(shì) 8第3章 數(shù)值逼近 12 數(shù)值擬合 12 直線擬合 13 曲線擬合 15 多項(xiàng)式擬合 15 插值逼近 16 定義與發(fā)展 16 主要內(nèi)涵 16 基本類型 17第4章 基于matlab的數(shù)值逼近程序設(shè)計(jì) 19 分段插值 19 定義 19 分段插值計(jì)算 20 基于matlab分段插值實(shí)現(xiàn) 20 小結(jié) 21 拉格朗日插值 21 線性插值 21 二次朗格拉日插值 23 n次拉格朗日插值 24 拉格朗日計(jì)算 26 基于matlab的拉格朗日程序設(shè)計(jì) 26 rung（龍格）現(xiàn)象 27 三次樣條插值 29 定義 29 三次樣條插值計(jì)算 30 基于matlab三次樣條插值實(shí)現(xiàn) 31 小結(jié) 32 擬合 33 定義 33 基于matlab的擬合的實(shí)現(xiàn) 33 小結(jié) 35 35第5章 基于matlab的數(shù)值逼近程序測(cè)試 38 插值逼近程序測(cè)試 38 擬合程序測(cè)試 41 各種逼近應(yīng)用 42結(jié) 論 45致 謝 46參考文獻(xiàn) 47第1章 緒 論在工程分析和科學(xué)研究中，常需要根據(jù)一些測(cè)試數(shù)據(jù)求得自變量和因變量的近似函數(shù)關(guān)系式．來(lái)完成其他設(shè)計(jì)計(jì)算。本設(shè)計(jì)以Matlab為編程語(yǔ)言和開發(fā)環(huán)境，對(duì)數(shù)值逼近算法進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)，并進(jìn)行圖形化描述。Matlab是當(dāng)前最為優(yōu)秀的科學(xué)計(jì)算軟件之一，也是許多科學(xué)領(lǐng)域中分析、應(yīng)用和開發(fā)的基本工具。經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展，Matlab已經(jīng)成為一種功能全面的軟件，幾乎可以解決科學(xué)計(jì)算中的所有問(wèn)題。所有結(jié)果表明，采用不同的逼近方法，利用Matlab編程可以簡(jiǎn)單、有效地實(shí)現(xiàn)函數(shù)逼近。這就要求用簡(jiǎn)單的函數(shù)(z)近似地代替函數(shù)廠(z)，這種近似代替稱為函數(shù)逼近，它是計(jì)算數(shù)學(xué)中最基本的概念和方法之一，在圖像處理、逆向工程以及測(cè)試數(shù)據(jù)的處理等領(lǐng)域應(yīng)用得相當(dāng)廣泛。Matlab本身已經(jīng)包含了一些插值和擬合的函數(shù)，能夠方便地實(shí)現(xiàn)函數(shù)逼近。它將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當(dāng)今國(guó)際科學(xué)計(jì)算軟件的先進(jìn)水平。表11 matlab的發(fā)展版本建造編號(hào)發(fā)布時(shí)間MATLAB MATLAB 2MATLAB 3MATLAB MATLAB 4MATLAB ……MATLAB MATLAB MATLAB MATLAB MATLAB MATLAB 7（本設(shè)計(jì)使用）MATLAB MATLAB ……MATLAB MATLAB MATLAB MATLAB MATLAB 沒有編號(hào)沒有編號(hào)沒有編號(hào)沒有編號(hào)沒有編號(hào)R7……R12R13R13SP1R13SP2R14R14SP1R14SP2……R2010aR2010bR2011aR2011bR2012a1984198619871990199219941996199920002001200120032003200420042005 數(shù)值逼近有效使用數(shù)字計(jì)算機(jī)求數(shù)學(xué)問(wèn)題近似解的方法與過(guò)程，以及由相關(guān)理論構(gòu)成的學(xué)科。泛指數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題的近似解法。它是現(xiàn)代數(shù)值分析的基本組成部分，除自身具有獨(dú)立學(xué)科分支的意義外，還可用于構(gòu)造數(shù)值積分、求函數(shù)零點(diǎn)、解微分方程和積分方程的近似方法。
第二章：MATLAB簡(jiǎn)介，本章主要介紹了MATLAB的基本功能與基本的應(yīng)用，并且簡(jiǎn)述了MATLAB開發(fā)環(huán)境、語(yǔ)言等系統(tǒng)機(jī)構(gòu)，特點(diǎn)與優(yōu)勢(shì).第三章：數(shù)值逼近，本章主要對(duì)數(shù)值逼近的方法進(jìn)行了講述——曲線擬合，插值逼近。 基本功能MATLAB和Mathematica、Maple并稱為三大數(shù)學(xué)軟件。在新的版本中也加入了對(duì)C,FORTRAN,C++,JAVA的支持。圖22 MATLAB在通訊系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真的應(yīng)用 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)MATLAB系統(tǒng)由MATAB開發(fā)環(huán)境、MATLAB數(shù)學(xué)函數(shù)庫(kù)、MATLAB語(yǔ)言、MATLAB圖形處理系統(tǒng)和MATLAB應(yīng)用程序接口（API）五大部分構(gòu)成。從基本算法如加法、正弦，到復(fù)雜算法如矩陣求逆、快速傅里葉變換等。 MATLAB應(yīng)用程序接口MATLAB應(yīng)用程序接口（API）是一個(gè)使MATLAB語(yǔ)言能與C、Fortran等其它高級(jí)編程語(yǔ)言進(jìn)行交互的函數(shù)庫(kù)。這些工具方便用戶使用MATLAB的函數(shù)和文件，析。而且新版本的MATLAB提供了完整的聯(lián)機(jī)查詢、幫助系統(tǒng)，極大的方便了用戶的使用。新版本的MATLAB語(yǔ)言是基于最為流行的C++語(yǔ)言基礎(chǔ)上的，因此語(yǔ)法特征與C++語(yǔ)言極為相似，而且更加簡(jiǎn)單，更加符合科技人員對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)式的書寫格式。其擁有600多個(gè)工程中要用到的數(shù)學(xué)運(yùn)算函數(shù)，可以方便的實(shí)現(xiàn)用戶所需的各種計(jì)算功能。MATLAB的這些函數(shù)集包括從最簡(jiǎn)單最基本的函數(shù)到諸如矩陣（如圖24（a））、特征向量（如圖24（b））、快速傅立葉變換的復(fù)雜函數(shù)?？捎糜诳茖W(xué)計(jì)算和工程繪圖。圖25 圖形處理功能MATLAB對(duì)許多專門的領(lǐng)域都開發(fā)了功能強(qiáng)大的模塊集和工具箱。允許用戶編寫可以和MATLAB進(jìn)行交互的C或C++語(yǔ)言程序。第3章 數(shù)值逼近實(shí)際問(wèn)題中碰到的函數(shù)是各種各樣的。泛指數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題的近似解法。 數(shù)值擬合所謂擬合是指已知某函數(shù)的若干離散函數(shù)值{f1,f2,…,fn}，通過(guò)調(diào)整該函數(shù)中若干待定系數(shù)f(λ1, λ2,…,λn)，使得該函數(shù)與已知點(diǎn)集的差別(最小二乘意義)最小。形象的說(shuō),擬合就是把平面上一系列的點(diǎn),用一條光滑的曲線,。（2）插值法在節(jié)點(diǎn)處取函數(shù)值。因此，插值方法只能適用那些誤差可以忽略不記的情況，當(dāng)誤差較大而不能忽略時(shí)，又如何通過(guò)這些觀測(cè)數(shù)據(jù)確定其內(nèi)在的變化規(guī)律呢？本節(jié)所介紹的曲線擬合就是解決這一問(wèn)題的主要方法之一。直線擬合步驟如下：(1) 做出給定數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖（近似一條直線）。(3) 寫出誤差和表達(dá)式：要選擇而使得函數(shù)最小，可以用數(shù)學(xué)分析中求極值的方法，即先分別對(duì)求偏導(dǎo)，再使偏導(dǎo)等于零，就可得到所謂的正規(guī)方程組。xi12345yi468表31 觀測(cè)數(shù)據(jù)解：根據(jù)所給數(shù)據(jù)，在直角坐標(biāo)下畫出數(shù)據(jù)點(diǎn)，從圖31中可以看出，各點(diǎn)在一條直線附近，故可取線性函數(shù)作為擬合曲線圖31 坐標(biāo)數(shù)據(jù)點(diǎn)附近做直線令將數(shù)據(jù)帶入公式得，解得。特別地，當(dāng)m=1時(shí)，稱為線性最小二乘擬合。插值：用來(lái)填充圖像變換時(shí)像素之間的空隙。 主要內(nèi)涵插值問(wèn)題的提法是：假定區(qū)間[a，b]上的實(shí)質(zhì)函數(shù)f（x）在該區(qū)間上 n+1個(gè)互不相同點(diǎn)x0，x1……xn 處的值是f (x0)，……f（xn），要求估算f（x）在[a，b]中某點(diǎn)x*的值。當(dāng)估算點(diǎn)屬于包含x0，x1……xn的最小閉區(qū)間時(shí)，相應(yīng)的插值稱為內(nèi)插，否則稱為外插。插值多項(xiàng)式一般有兩種常見的表達(dá)形式，一個(gè)是拉格朗日插值多項(xiàng)式，另一個(gè)是牛頓插值多項(xiàng)式。從幾何上看，這種插值要尋求的多項(xiàng)式曲線不僅要通過(guò)平面上的已知點(diǎn)組，而且在這些點(diǎn)（或者其中一部分）與原曲線“密切”，即它們有相同的斜率。 4. 三角函數(shù)插值當(dāng)被插函數(shù)是以2π為周期的函數(shù)時(shí)，通常用n階三角多項(xiàng)式作為插值函數(shù)，并通過(guò)高斯三角插值表出。matlab中使用插值函數(shù)第4章 基于matlab的數(shù)值逼近程序設(shè)計(jì) 分段插值我們用高次插值多項(xiàng)式是不妥當(dāng)?shù)模瑥臄?shù)值計(jì)算上可解釋為高次插值多項(xiàng)式的計(jì)算會(huì)帶來(lái)舍入誤差的增大，從而引起計(jì)算失真。分段線性插值方法是matlab一維插值默認(rèn)的方法。m=2稱為分段拋物線插值。 j()= 基于matlab分段插值實(shí)現(xiàn)Matlab分段插值命令：interp1功能:一維數(shù)據(jù)插值。格式：yi=interp1（x，y，xi） 其中x，y為原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，xi，yi為插值點(diǎn)。y0=(1+25*x0.^2).^1y1=interp1(x,y,x0)。,x0,y1,39。原曲線39。 小結(jié)實(shí)際上，上面介紹的分段低次插值，雖然具有計(jì)算簡(jiǎn)便，收斂性有保證，數(shù)值穩(wěn)定性又好且易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但它卻不能保證整條曲線的光滑性，從而不能滿足某些工程技術(shù)上的要求，從六十年代開始，首先由于航空、造船等工程設(shè)計(jì)的需要而發(fā)展起來(lái)的樣條插值（spline)方法，既保留了分段低次插值的各種優(yōu)點(diǎn)，又提高了插值函數(shù)的光滑性，在許多領(lǐng)域顯得越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。設(shè)直線方程為，將分別代入直線方程得：當(dāng)時(shí)，因，所以方程組有解，而且解是唯一的。這種形式稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式。圖43 三個(gè)插值點(diǎn)的二次