【正文】 由于我的學術水平有限，所寫論文難免有不足之處，懇請各位老師和學友批評和指正！在此我向我的指導老師，和我的同學們致以真摯的謝意，謝謝你們的大力支持和幫助。本文引用了數(shù)位學者的研究文獻，如果沒有各位學者的研究成果的幫助和啟發(fā)，我將很難完成本篇論文的寫作。另外，在校圖書館查找資料的時候，圖書館的老師也給我提供了很多方面的支持與幫助。致 謝歷時將近兩個月的時間終于將這篇論文寫完，在論文的寫作過程中遇到了無數(shù)的困難和障礙，都在同學和老師的幫助下度過了。上述的幾種方法都是實現(xiàn)函數(shù)逼近的有效處理法，這里就其Matlab的實現(xiàn)方法進行了研究，給出了Matlab實現(xiàn)的源程序，并得出了仿真結果。其中特別說明了拉格朗日高次插值的龍格現(xiàn)象。本文設計的基于matlab的數(shù)值逼近主要實現(xiàn)了以下功能：（1） 使用擬合的方式在matlab7中實現(xiàn)數(shù)值逼近，其中擬合分為線性擬合和曲線擬合，本設計以曲線擬合為主。Matlab提供了強大的矩陣處理和繪圖功能,給出了一個融合計算、可視化和程序設計的交互環(huán)境,操作簡便,能高效求解各種復雜工程問題并實現(xiàn)計算結果的可視化。圖511 氣溫測試圖512 13點的氣溫預測結 論本課題利用各類算法，以matlab為平臺， 設計了分段插值，三次樣條，曲線擬合以及拉格朗日插值幾種逼近方式，并且對幾種逼近方式的優(yōu)缺點進行了對比。圖510 機翼輪廓設計24小時內每兩小時檢測一次氣溫數(shù)據(jù)如下。圖57 擬合程序測試直線擬合：已知觀測數(shù)據(jù)如表31所示，求它的擬合曲線。圖55 runge現(xiàn)象4. 三次樣條插值：根據(jù)下表建立f（x）的三次樣條插值函數(shù)。圖53 拉格朗日插值圖并且計算出f（）的值（如圖54）。圖51 分段線性插值曲線圖用分段線性插值近似計算f()（如圖52）。測試的目的是發(fā)現(xiàn)軟件的錯誤和問題，及時恰當?shù)倪M行糾正和完善。)。,39。legend(39。24小時天氣變化39。)。,x2,y6,39。plot(x,y,39。)。,39。legend(39。24小時天氣變化39。)。,x2,y5,39。plot(x,y,39。)。,39。legend(39。24小時天氣變化39。)。,x2,y4,39。plot(x,y,39。)。y6=interp1(x,y,x2,39。pchip39。y4=interp1(x,y,x2)。spline39。pchip39。x1=13。x=0:2:24。24小時內每兩小時檢測一次氣溫數(shù)據(jù)如下。拉格朗日插值39。原曲線39。)。,x0,y4,39。plot(x,y,39。)。,39。legend(39。b39。.r39。subplot(2,3,4)。2次曲線擬合39。原曲線39。)。,x0,y2,39。plot(x,y,39。)。,39。legend(39。b39。.r39。subplot(2,3,2)。分段插值39。原曲線39。)。,x0,y0,39。plot(x,y,39。%%%進行6次曲線擬合%%%y4=lagrange(x,y,x0)。spline39。%%%原始數(shù)據(jù)點%%%x0=[0::15]。機翼下輪廓參數(shù)及加工要求：一直機翼下的輪廓上的數(shù)據(jù)如下：機翼長（x） 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15機翼寬（y） 0 機床加工時,，試設計出具有光滑度的機翼下輪廓線并畫出圖形x=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15]。而Matlab曲線擬合能夠快速精確地繪制出復雜的非圓曲線。2）大多數(shù)CAD軟件都只有直線，圓弧繪畫功能，對于復雜的非圓弧曲線繪制，一般采用描點式進行人工擬合。)。title(39。n=1039。原曲線39。)。,x,y4,39。plot(x,y,39。)。title(39。n=839。原曲線39。)。,x,y3,39。plot(x,y,39。)。title(39。n=439。原曲線39。)。,x,y2,39。plot(x,y,39。)。title(39。n=139。原曲線39。)。,x,y1,39。plot(x,y,39。%%%%%%%%%%%%%%%%%進行10次擬合%%%%%%%%%%%%%%%%%a4=polyfit(x,y,10)y4=polyval(a4,x)。%%%%%%%%%%%%%%%%%進行4次擬合%%%%%%%%%%%%%%%%%a2=polyfit(x,y,4)y2=polyval(a2,x)。曲線擬合：1）2）編寫多項式曲線擬合程序%%%%%%%%%%%%%%%%%%對多項式y(tǒng)=1/(1+25*x^2)進行多項式曲線擬合%分別進行1次，4次，8次，10次擬合%%%%%%%%%%%%%x=1::1。多項式曲線1次擬合39。)。,39。legend(39。b39。.r39。y=[4 6 8 ]a1=polyfit(x,y,1)y1=polyval(a1,x)。 基于matlab的擬合的實現(xiàn)直線擬合：1）2）編寫直線擬合程序。曲線直線化是曲線擬合的重要手段之一。后來數(shù)學上對其進行了抽象，定義了m次樣條函數(shù)，并成為數(shù)值逼近的重要研究分枝，進一步擴大了樣條函數(shù)的應用范圍。 小結鑒于高次插值不收斂又不穩(wěn)定的特點，低次插值既具有收斂性又具有穩(wěn)定性，因此低次值更具有實用價值，但是低次插值的光滑性較差，比如分段線性插值多項式在插值區(qū)間中僅具有連續(xù)性，在插值節(jié)點處有棱角，一階導數(shù)不存在；分段三次Hermite插值多項式在插值區(qū)間中僅具有一階導數(shù)即一階光滑性但不具備二階光滑性，不能滿足某些實際應用比如汽車、輪船、飛機等的外形中流線形設計。[4,5]三次樣條插值39。[1:4]三次樣條插值39。原曲線39。,x0,y0)。,xx,yy,39。)%三次樣條插值figure%%%%%%畫出圖形plot(x,y,39。y0=interp1(x,y,x0,39。spline39。%%%%分別對兩個區(qū)間進行三次樣條插值xx=[1::4]。格式：yi=interp1(x,y,xi,’spline’)或者yy=spline(x,y,xx)由上面的例題基于matlab三次樣條插值程序設計：1) 2) 編寫基于matlab三次樣條插值程序：%%%%定義原數(shù)據(jù)點%%x=[1 2 4 5]。求解過程如下：因自然樣條插值函數(shù)的邊界條件為，這里n=3，故確定m0,m1,m2,m3的方程組形式，其中系數(shù)，可按如下步驟進行： ；， ；；；帶入矩陣中得到下面的方程組：，又由公式：可知： 基于matlab三次樣條插值實現(xiàn)Matlab三次樣條插值命令：spline功能：命令interp1調用spline。常見邊界條件：①轉角條件：②彎矩條件：③周期性條件：可知：設，再由，可得：由可得：其中 三次樣條插值計算例43：根據(jù)下表建立f（x）的三次樣條插值函數(shù)。則稱分段函數(shù)s(x)是以[a,b]為節(jié)點集的k次樣條函數(shù)。)end 三次樣條插值 定義設區(qū)間[a,b]上給定一個節(jié)點劃分a=x0x1……xn1xn=b如果存在正整數(shù)k使得[a,b]上的分段函數(shù)s(x)滿足如下兩條： (1)在[a,b]上有直到k1階連續(xù)導數(shù)。plot(t,y,39。subplot(6,3,i)plot(cx,cy)axis([5,5,2])hold ont=5::5。cy=lagrange1(x,y,i,cx39。y=1./(1+x.^2)。 end end cy=cy+y(k).*t。for k=1:n+1 t=ones(m,1)。) rung（龍格）現(xiàn)象并不是插值多項式的次數(shù)越高，插值效果就越好，精度也不一定是隨次數(shù)的提高而升高，這種現(xiàn)象在上個世紀初由Runge發(fā)現(xiàn)，故稱runge現(xiàn)象圖44 不同次數(shù)的lagerange插值多項式的比較圖Runge現(xiàn)象在matlab中體現(xiàn)：1）function cy=lagrange(x,y,n,cx)m=length(cx)。)title(39。,39。)legend(39。,x0,y0,39。y1=lagrange(x,y,x1)figuresubplot(1,2,1)plot(x,y,39。y0=lagrange(x,y,x0)。end3）建立執(zhí)行m文件：x=[ ]。 end end s=s+p*fx(k)。 s= for k=1:n p=。m=length(inx)。xif(xi)解：拉格朗日插值基函數(shù)為：同理可得：得到： 基于matlab的拉格朗日程序設計由于拉格朗日在matlab中沒有進行函數(shù)定義，所以進行拉格朗日較其他程序的編寫稍微復雜。稱為關于節(jié)點的拉格朗日基函數(shù)。對于個互不相同的插值節(jié)點，由次插值多項式的惟一性，可對每個插值節(jié)點作出相應的次插值基函數(shù)。將，依次代入中得到線性方程組：方程組的系數(shù)行列式是范德蒙（Vandermonde）行列式：當互異時，所以方程組的解存在且惟一。也容易驗證： n次拉格朗日插值給定平面上兩個互不相同的插值點，有且僅有一條通過這兩點的直線；給定平面上三個互不相同的插值點，有且僅有一條通過這三個點的二次曲線；給定平面上,個互不相同的插值點，互不相同是指互不相等，是否有且僅有一條不高于次的插值多項式曲線，如果曲線存在，那么如何簡單地作出這條次插值多項式曲線？分析：次多項式，它完全由個系數(shù)決定。圖43 三個插值點的二次插值仿造線性插值的拉格朗日插值，即用插值基函數(shù)的方法構造插值多項式。拉格朗日插值多項式型式免除了解方程組的計算，易于向高次插值多項式型式推廣。這種形式稱為拉格朗日插值多項式。用待定系數(shù)法構造插值多項式的方法簡單直觀，容易看到解的存在性和惟一性，但要解一個方程組才能得到插值函數(shù)的系數(shù)，因工作量較大和不便向高階推廣，故這種構造方法通常不宜采用。設直線方程為，將分別代入直線方程得：當時，因，所以方程組有解，而且解是唯一的。圖42 拉格朗日線性插值在初等數(shù)學中，可用兩點式、點斜式或截距式構造通過兩點的一條直線。 小結實際上，上面介紹的分段低次插值，雖然具有計算簡便，收斂性有保證，數(shù)值穩(wěn)定性又好且易在計算機上實現(xiàn)等優(yōu)點，但它卻