數(shù)值分析第四章數(shù)值積分(編輯修改稿)
2025-06-20 23:22 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 現(xiàn)象 ，故采用分段低次插值 ? 分段低次合成的 NewtonCotes 復(fù)合 求積公式。 ? 復(fù)合梯形公式： ),...,0(, nkhkaxnabhk ?????在每個(gè) 上用梯形公式： ],[ 1 kk xx ?nkxfxfxxdxxf kkxx kkkk,...,1,)]()([2)( 111???? ?????????? ??? ???11)()(2)(2nkk bfxfafh? ??? ??bankkk xfxfhdxxf11 )]()([2)(= Tn ),(),()(12)()(12)](12[][21213bafabhnfabhfhfRnkknkk????????????????? ??????/*中值定理 */ 167。 2 Composite Quadrature ? 復(fù)化 Simpson 公式： ),...,0(, nkhkaxnabhk ?????)]()(4)([6)( 1211?? ?????kkkxx xfxfxfhdxxfkkkx21?kx1?kx4 4 4 4 4 ])()(2)(4)([6)( 1010121? ???????? ????nknkkkba bfxfxfafhdxxf = Sn )(2180][ )4(4?fhabfR ?????????注： 為方便編程，可采用另一記法：令 n’ = 2n 為偶數(shù)， 這時(shí) ，有 hkaxhn abh k ???????? ,2])()(2)(4)([3 ? ? ?????kodd ke v e nkkn bfxfxfafhS167。 2 Composite Quadrature ? 收斂速度與誤差估計(jì)： 定義 若一個(gè)復(fù)化積分公式的誤差滿足 且 C ? 0，則 稱該公式是 p 階收斂 的 。 ???? Ch fR ph ][lim 0? ?321012: [ ] [ ( ) ] ( )1 2 1 2[ ] 1 1( ) ( ) ( )1 2 1 2nnkkkkbahhR f f h fRff x d x f b f ah??????? ??? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ????復(fù) 化 梯 形 公 式/*中值定理 */ 類似的，可得 ? ?44( 5 ) ( 5 )66[ ] 1: ( ) ( )18 0 2[ ] 2: ( ) ( )94 5 4Rff b f ahRff b f ah??? ???? ? ????? ? ????復(fù) 化 Simpson 公 式復(fù) 化 Cotes 公 式2階收斂 4階收斂 6階收斂 例 1： 計(jì)算 dxx? ?? 10 1 4 2?解： ?????? ??? ??)1()(2)0(161 718 fxffTkk8kxk ?其中 = ?????? ???? ? ? )1()(2)(4)0(241od d e ve n4 fxfxffS kk8kxk ?其中 = 運(yùn)算量基本相同 Q: 給定精度 ?，如何取 n ? 例如：要求 ，如何判斷 n = ？ ??? ||nTI2[ ] [ ( ) ( ) ]12hR f f b f a??? ? ?上例中若要求 ，則 610|| ??? nTI 622 106|)0()1(|12|][|??????? hffhfRn0 0 2 4 4 9 4 ?h 即：取 n = 409 167。 2 Composite Quadrature 事后誤差估計(jì)式，可用來(lái)判斷迭代 是否停止。 始步長(zhǎng) h ?102 167。 4 龍貝格 積分 /* Romberg Integration */ 復(fù)化梯形公式算法簡(jiǎn)單，但精度較差，收斂速度（ 2階收斂）較慢，如何提高收斂速度？ 注：按上面規(guī)律，可以構(gòu)造線性組合系數(shù)為 的新的積分公式，但當(dāng) m?4時(shí)，前一個(gè)系數(shù)接近于 1，后一個(gè)系數(shù)接近于 0，這樣構(gòu)造出的新公式與前一個(gè)公式結(jié)果差別不大，反而增加計(jì)算量，因此實(shí)際上常做到 Romberg公式為止。 41,4 1 4 1mmm????????例： 計(jì)算 dxx? ??10 142?已知對(duì)于 ? = 10?6 須將區(qū)間對(duì)分 9 次，得到 T512 = 由 來(lái)計(jì)算 I 效果是否好些？ nnnn TTTTI313414422 ????
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