[理學(xué)]56第六章數(shù)值積分與數(shù)值微分(編輯修改稿)
2025-01-04 00:43 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 別 具 有 、 、 次 代 數(shù) 精 度 。11S im p sonP 13 5C e tos .12I dxx???例 1 分 別 用 梯 形 公 式 、 公 式 和 公 式 計(jì) 算 積 分例【 】CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 三 求 積 余 項(xiàng)1 梯 形 公 式一 般 插 值 求 積 公 式 余 項(xiàng) ：[ ( ) ( ) ]b na f x P x d x???( 1 )0() ()( 1 ) !n nbka kf x x dxn??????nnR I I??()( ) ( ) ( )2bafR T x a x b dx???? ? ??() ( ) ( )2baf x a x b dx???? ? ??3() ()12ba f ?? ???? [ , ]ab??[ , ]( ) , ( ) C ( )[ , ] [ , ]( ) ( ) ( ) ( )abbbaaf x g x g xa b a bf x g x dx f g x dx???????? 設(shè) 且在 上 不 變 號積 分 中 值 定 理 ：， 則 ，滿 足 :2 S i m p s o n 公 式4 ( 4 )( ) ( ) ( )180 2b a b aR S f ?????3 C o te s公 式6 ( 6 )2( )( ) ( ) ( )945 4b a b aR C f ?????CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY ()0( ) ( ) ( ) 1n nn k kkI b a C f x f x?? ? ? ?? 對 精 確 成 立四 穩(wěn) 定 性1 C o t e s 系 數(shù) 的 特 點(diǎn)()01 ( )nb nkakd x b a C?? ? ? ??? ()01n nkkC??? ?C o t e s由 系 數(shù) 表 ， 看 到 ：()7 nknC?當(dāng) 時 ， 全 為 “ 正 數(shù) ” ；()8 nknC?當(dāng) 時 ， 中 “ 有 正 有 負(fù) ” 。CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 2 舍 入 誤 差( ) , ( ) ( ) ( ) ( )k k k k k kf x f x f x f x f x? ??設(shè) 為 精 確 值 而 為 的 近 似 值 , 誤 差由 此 引 起 的 計(jì) 算 誤 差 為 ：nnII? ( ) ( )00( ) ( ) ( ) ( )nnnnk k k kkkb a C f x b a C f x??? ? ? ???()0( ) [ ( ) ( ) ]n nk k kkb a C f x f x?? ? ?? ()0() n nkkkb a C ???? ?()0() n nkkb a C???? ?()0() n nkkkb a C ??? ? ?? ? ?m a x .k??其 中 =()7 0 ,nknC? ? ?當(dāng) 時 ， 有nnII? ()ba??? ，即 誤 差 沒 有 放 大 ， 穩(wěn) 定 。()8 0 0nkn C o r? ? ?當(dāng) 時 ， ，()0() n nkkb a C??? ? ()0() n nkkb a C???? ?()ba???即 誤 差 可 能 被 放 大 ， 不 穩(wěn) 定 。10)( ???nknkC性質(zhì)：CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 收斂性 收 斂 性 無 保 證 ，不 一 定 0即 ： 高 階 公 式 代 數(shù) 精 度 高 ， 但 效 果 不 一 定 好 ！12111 25I dxx?? ??如 計(jì) 算 的 近 似 值 ：lim即 nn II? ? ? ?五 復(fù) 化 求 積 法 ( ) ( )f x f x利 用 的 低 次 分 段 插 值 多 項(xiàng) 式 代 替 進(jìn) 行 積 分 ！[ , ]a b n將 積 分 區(qū) 間 分 割 為 等 份 ， ( 0, 1 , , ) , ,k bax a kh k n h n?? ? ? ?各 節(jié) 點(diǎn) 則()baI f x dx? ?1 復(fù) 化 梯 形 公 式110( ) ( )kknbxax kI f x d x f x d x????? ???110[ ( ) ( ) ]2nkkkh f x f x??????11[ ( ) 2 ( ) ( ) ]2 n kkba f a f x f bn???? ? ??1x 2x 1nx?......幾 何 意 義110()kkn xxk f x dx???? ? ?nT?CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY ()b na f x d x S??1 414kkx x h? ??2 S i m p s o n復(fù) 化 公 式3 C o t e s復(fù) 化 公 式2等 分 1 / 2 1 / 2 1[ , ] [ , ]k k k kx x x x? ? ?1[ , ]kkxx?1110 2[ ( ) 4 ( ) ( ) ]6nkk kkh f x f x f x????? ? ??11101 2[ ( ) 4 ( ) 2 ( ) ( ) ]6nnkkkkba f a f x f x f bn??????? ? ? ???1212kkkxxx ????其 中1244107 ( ) [ 32 ( ) 12 ( )90nn kkkbaC f a f x f xn??????? ? ??? ?341132 ( ) ] 14 ( ) 7 ( )nkkkf x f x f b????? ? ????111 2 3014 4 41 [ 7 ( 0 ) [ 32 ( ) 12 ( ) 32 ( ) ] 14 ( ) 7 ( 1 ) ]180 kk k kkkf f x f x f x f x f? ? ???? ? ? ? ???10sin sin() xxf x I dxxx?? ? 已知 的數(shù)據(jù)，用復(fù)化例1 求積法求 的近似值。8T0x1x2x3x4x5x6x7x8x復(fù) 化 梯 形 公 式 ：711 [ ( 0 ) 2 ( ) ( 1 ) ]16 kkf f x f?? ? ??8T0 .9 4 5 6 9 0 8 6?Simpso n復(fù) 化 公 式 ：33101 21 [ ( 0 ) 4 ( ) 2 ( ) ( 1 ) ]24 kkkkf f x f x f???? ? ? ???4S0 .9 4 6 0 8 3 3 1?2C?0 .9 4 6 0 8 3 0 7?C o t e s復(fù) 化 公 式 ：4S0x0 1/2x?1x1 1/2x?2x2 1/2x?3x3 1/2x?4x2C0x0 1/4x?0 1/2x?0 3/4x?1x1 1/4x?1 1/2x?1 3/4x?2x10s in 0 . 9 4 6 0 8 3 0 7 0 3 6 7 1 8 3注 ： 精 確 值 xI d xx???精 度 最 高精 度 次 高精 度 最 低18,8nh??14,4nh??12,2nh??CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 2( ) ( )12kkhR T h f ???? ? ? ?4 復(fù) 化 求 積 公 式
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