常微分方程--第六章64節(jié)(編輯修改稿)
2025-02-16 04:56 本頁面
【文章內容簡介】 ?????? ???() 目錄 上頁 下頁 返回 結束 且當 時， 0? ?l im ( ) l im ( ) 0ttx t y t? ? ? ? ? ???即 是漸近穩(wěn)定的； (0,0)反之，當 時 為不穩(wěn)定的。此時的 0? ? (0,0)奇點稱為 臨界結點 （ 星形結點 ）， 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2)若 Jordan塊 為二階時，標準型為 dxxdtdyxydt???????? ????() 其通解為 112()( ) ( )ttx t c ey t c t c e??? ???????() 目錄 上頁 下頁 返回 結束 仍對應的是零件即奇點 12 0cc??(0,0)120 , 0cc??對應的是 軸為軌線，但是 軸 Y X不再是軌線 ， 時消去 得出： 1 0c ? tlnxy c x x???() 由上式知： 又因為 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1 1 1 lnd y y xxd x x? ? ?? ? ? ? ?所以有 0limxdydx? ??因此所有軌線均切 軸于 點，這種奇點 (0,0)Y稱為 退化結點 。且當 時為 穩(wěn)定的退化結點 ， 0? ?當 時為 不穩(wěn)定的退化結點 。 0? ? 目錄 上頁 下頁 返回 結束 4. , , 0( 0 , 0)i i q? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?這時系統(tǒng)的標準型為 .dxxydtdyxydt??????????? ? ? ???() 取極坐標變換 ,()即 c os , si nx r y????化為 : 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .drrdtddt????????? ????() 下邊分兩種情況 : （ 1） 0 , ( 0 )p? ??此時解 ()得出 00( ) , ( )ntr t r e t t? ? ?? ? ? ? 目錄 上頁 下頁 返回 結束 其中 是任意常數(shù)，消去 得 00,r ? tr c e? ????這是 一族對數(shù)螺線 ，這樣的奇點稱為 焦點， 且當 時是 穩(wěn)定焦點 ， 時是 不穩(wěn)定焦點 ， 0? ? 0? ?的正負決定了 增加時軌線是順時針還是逆 ? t時針繞原點旋轉的。 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2) 0 , ( 0 )p? ??這時特征值是一對純虛數(shù) ,于是系統(tǒng)在極坐標下 的通解為： 0 0 0 0, , ,r r t r? ? ? ?? ? ? ?為任意的常數(shù)且 。顯然這是一族以原點 0 0r ?為中心的同心圓，這樣的奇點稱為 中心 ， 目錄 上頁 下頁 返回 結束 中心是 穩(wěn)定奇點 但不是漸近穩(wěn)定的 。 歸納上邊的討論得出，系統(tǒng) ()的奇點 是初等奇點時候根據(jù)它的系數(shù)矩陣 的 (0,0) A特征方程 ()有如下分類： 1）當 時， 為 鞍點 ； 0q ? (0,0)2）當 且 時是結點且 是穩(wěn) 0q ? 0? 0p ? 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定的， 不穩(wěn)定的； 0p ?3)當 且 時 是 臨界結點或退 0q ? 0? (0,0)化結點 , 且 是穩(wěn)定的， 是不穩(wěn)定的； 0p ? 0p ?4)當 時是 焦點且 0 , 0 , 0qp? ? ? (0,0)0p ? 為穩(wěn)定的， 為不穩(wěn)定的 。 0p ?5)當 且 時， 是中心。 0q ? 0p ? (0,0) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 由此知道參數(shù) 平面，被 軸，正 軸 ( , )pq P Q別對應于系統(tǒng)的鞍點區(qū)，焦點區(qū)，結點區(qū)， 及曲線
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