數(shù)值分析第四章數(shù)值積分-文庫吧
2025-04-25 23:22 本頁面
【正文】 可查表得到。與 f (x) 及區(qū)間 [a, b]均無關(guān)。 ? 167。 2 NewtonCotes 公式 ? ? () 00( ) ( )nbnkakf x d x b a C f x k h?? ? ??? Newton—Cotes formula 167。 1 NewtonCotes Formulae 21,21 )1(1)1(0 ?? CCn = 1: )]()([2)( bfafabdxxfba ????Trapezoidal Rule dxbxaxffR ba x ))((!2 )(][ ????? ? ?/* 令 x = a+th, h = b?a, 用中值定理 */ 1,],[,)(121 3 abhbafh ??????? ??代數(shù)精度 = 1 n = 2: 61,32,61 )2(2)2(1)2(0 ??? CCC)]()(4)([6)( 2 bffafabdxxf baba ???? ??Simpson’s Rule 代數(shù)精度 = 3 2,),(,)(901][ )4(5 abhbafhfR ????? ??n = 4: Cotes Rule, 代數(shù)精度 = 5, )(9458][ )6(7 ?fhfR ??0 1 2 3 4( ) [ 7 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( ) 3 2 ( ) 7 ( ) ]90babaf x d x f x f x f x f x f x?? ? ? ? ??偶數(shù)階 NC公式具有 n+1階代數(shù)精度 n = 3: Simpson’s 3/8Rule, 代數(shù)精度 = 3, )(803][ )5(5 ?fhfR ??對(duì)稱節(jié)點(diǎn)的系數(shù)相同 Cotes公式是用不同節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值（高度）的加權(quán)平均來近似區(qū)間的平均高度 注：當(dāng) n?8時(shí)， Cotes系數(shù)有負(fù)，造成公式不穩(wěn)定，因此常用低階 Cotes公式。 ( 1 )0020000/22/20()[ ] ( ) ( )( 1 ) !, [ ] ( ) e v e n, /2 int e ge r , l e t / 2 , w e ha v e [ ] ( / 2 )n nnbbxkkaakknnnkknnnnkfR f x x dx x x dxnx x jh x x th R f h t k dtn n t u nR f h u n k du?????????? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ?????????證明：只需證明 n為偶數(shù)時(shí)， NC公式對(duì) f(x)=xn+1的余項(xiàng)R(f)=0即可。 因 f(n+1)(x)=(n+1)!, 由余項(xiàng)公式得 Th2. n為偶數(shù)時(shí) ， NC公式至少具有 n+1階代數(shù)精度。 ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?00/20 / 2/ 2 / 21/ 2 / 2/ 2 / 2/ 2 / 2 ( ) ( / 2 ) ( / 2)( / 2) ( / 2)( ) 1()( ) od d [ ] 0.nnkknnk j nnnnj n j nnnj n j nl e t H u u n k u k nu k n u j l e t j k nH u u j u ju j u j H uH u R f??? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???????????注：當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， Cotes公式具有 n+1階精度，與 n+1階Cotes公式精度相同，但少計(jì)算一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，因此一般常用偶數(shù)階 Cotes公式。 偶數(shù)階 NC公式具有 n+1階代數(shù)精度 NC公式具有 n階代數(shù)精度?余項(xiàng) R=o(h n+2) Hint： construct a interpolation polynomial of order 5, H(x), satisfying H(a)=f(a), H(b)=f(b), H (k)((a+b)/2) = f (k)((a+b)/2). HW: 16 數(shù)值穩(wěn)定性的一般概念 NC的穩(wěn)定性 167。 3 復(fù)合求積 /* Composite Quadrature */ Haven’t we had enough formulae? What’s up now? Oh e on, you don’t seriously consider h=(b?a)/2 acceptable, do you? Why can’t you simply refi e the partition if you have to be s picky? Don’t you fet the oscillatory nature of high degree polynomials! Uhoh 高次插值有 Runge
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