[工學(xué)]復(fù)變函數(shù)與積分變換第四章-文庫(kù)吧
2025-02-01 04:38 本頁(yè)面
【正文】 級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散 . (3) 既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù) , 也存在使級(jí)數(shù)收 斂的正實(shí)數(shù) . 設(shè) 時(shí) , 級(jí)數(shù)收斂 。 時(shí) , 級(jí)數(shù)發(fā)散 . 如圖 : z ?? z ??由 , 冪級(jí)數(shù) 收斂情況有三種 : 0nnnaz???定理 ( Abel 定理 ) 若級(jí)數(shù) 在0 nnn cz??? 1 0z ?處收斂，則當(dāng) 時(shí) , 級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂 。 0 nnn cz???1zz?若級(jí)數(shù) 在 處發(fā)散，則當(dāng) 時(shí) , 級(jí)數(shù)0 nnn cz??? 2z 2zz?0 nnn cz??? 發(fā)散 . xyo ? . ?. R收斂圓 收斂半徑 冪級(jí)數(shù) 0nnnaz165。=229。 的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域 . . 1?1?. 冪級(jí)數(shù) 00() nnna z z???? 的收斂范圍是 因此， 事實(shí)上 , 冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上斂散性的討 問(wèn)題： 冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何 ? 以 為中心的圓域 . 0zz?收斂半徑根據(jù)前面所述的三種情形 , 分別 , 0 , . R??規(guī)定為 論比較復(fù)雜 , 沒(méi)有一般的結(jié)論 , 要對(duì)具體級(jí)數(shù) 進(jìn)行具體分析 . 解 21 11 ( 1 ) .1nnnzS z z z zz? ?? ? ? ? ? ? ??1?z 1lim 1nn S z?? ? ?級(jí)數(shù) ???0nnz 收斂 , 1?z 0lim ??? nn z 級(jí)數(shù) ???0nnz 發(fā)散 . 絕對(duì)收斂 , 且有 在 內(nèi) , 級(jí)數(shù) 1z ? ???0nnz例 求級(jí)數(shù) 的和函數(shù)與收斂半徑 . 0nnz???所以收斂半徑 1,R?01 .1nnz z??? ??收斂半徑的計(jì)算方法 (一 ) (3) 當(dāng) 時(shí) , 收斂半徑 1.R r=0 ?? ? ??1l i m ,nn naa ?????。R ? ??(1) 當(dāng) 時(shí) , 收斂半徑 0??0。R ?(2) 當(dāng) 時(shí) , 收斂半徑 ? ? ??定理 (比值法 ) 設(shè)級(jí)數(shù) 如果 0.nnnaz???則 收斂半徑的計(jì)算方法 (二 ) (3) 當(dāng) 時(shí) , 收斂半徑 1.R r=0 ?? ? ??lim ,n nn a ??? ?。R ? ??(1) 當(dāng) 時(shí) , 收斂半徑 0??0。R ?(2) 當(dāng) 時(shí) , 收斂半徑 ? ? ??定理 (根值法 ) 設(shè)級(jí)數(shù) 如果 0.nnnaz???則 由于冪級(jí)數(shù)在收斂圓的內(nèi)部絕對(duì)收斂，因此 可得出下面幾個(gè)性質(zhì) . 性質(zhì) (1) 設(shè)級(jí)數(shù) 和 的收斂 0nnnaz???0nnnbz???半徑分別為 和 1R 2,R 則在 內(nèi) , 12mi n( , )z R R R??0 0 0( ) ,n n nn n n nn n na b z a z b z? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?0 1 1 00 0 0.n n nn n n n nn n na z b z a b a b a b z? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 冪級(jí)數(shù)的性質(zhì) (2) 設(shè)級(jí)數(shù) 的收斂半徑為 r. 0() nnnf z a z??? ?如果在 內(nèi) , 函數(shù) 解析 , 并且 Rz ? )(zg ,)( rzg ?則當(dāng) 時(shí) , Rz ?0[ ( ) ] [ ( ) ] .nnnf g z a g z??? ?說(shuō)明 : 上述運(yùn)算常應(yīng)用于將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) . 前面關(guān)于級(jí)數(shù) 的性質(zhì) , 如果將 換成 0nnnaz??? z0zz? 之后 , 對(duì)于級(jí)數(shù) 當(dāng)然也成立 . 00() nnna z z????bz?1例 把函數(shù) 表示成形如 0() nnna z a165。=229。的冪級(jí)數(shù) , 其中 a與 b是不相等的復(fù)常數(shù) . ?? bz 1 )()( 1 abaz ???11 .1 zababa? ? ? ?? ??代數(shù)變形 , 使其分母中出現(xiàn) )( az ?湊出 )(1 1 zg? 把函數(shù) 寫(xiě)成如下的形式 : bz?1解 運(yùn)行下面的 MATLAB語(yǔ)句 . symsz a b。 f=1/(zb)。 taylor(f,z,4,a)ans=1/(ab)1/(ab)^2*(za)+1/(ab)^3*(za)^21/(ab)^4*(za)^3211.1nz a z a z aza b a b a b aba? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???2231 1 1 1( ) ( )( ) ( )z a z az b b a b a b a? ? ? ? ? ?? ? ? ?11 ( ) .()nn zaba ?? ? ? ??當(dāng) 即 時(shí) , 1,zaba? ?? z a R b a? ? ? ?所以 定理 設(shè)冪級(jí)數(shù) 收斂半徑 00() nnna z z????為 R, 并且在 內(nèi) , 0z z R??00( ) ( ) ,nnnf z a z z?????則 是 內(nèi)的解析函數(shù) , 且在收斂圓 ()fz 0z z R??0z z R??內(nèi) , 可以逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分 , 即 (1) 當(dāng) 時(shí) , 0z z R?? ? ? 101( ) 。nnnf z na z z? ??? ???(2) 設(shè) C是 內(nèi)的一條分段光滑曲線 , 0z z R??則 ? ?00( ) d d .nnCC nf z z a z z z???????特別地 , 如果 C是圓內(nèi)部的以 z0為起點(diǎn)、 z為 終點(diǎn)的分段光滑曲線 , 則 ? ?0100( ) d .1z nnz naf z z z zn? ???? ???1 Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)定理 2 將函數(shù)展開(kāi)成 Taylor級(jí)數(shù) 167。 Taylor級(jí)數(shù) 實(shí)函數(shù)在一點(diǎn)的鄰域內(nèi)展開(kāi)成 Taylor級(jí)數(shù)是 非常重要的問(wèn)題，它是表示函數(shù)、研 究函數(shù)性質(zhì)
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