[工學(xué)]復(fù)變函數(shù)與積分變換第四章-wenkub
2023-03-03 04:38:50 本頁(yè)面
【正文】 01()nnfz???00l i m ( ) ( ) ,nn S z S z?? ?則稱級(jí)數(shù) 在 點(diǎn)收斂 , 且 是級(jí)數(shù)和 . 1()nnfz??? 0z 0()Sz如果級(jí)數(shù) 在 D內(nèi)處處收斂 , 則稱其在 1()nnfz???區(qū)域 D內(nèi)收斂 . 此時(shí)級(jí)數(shù)的和是函數(shù) 20 0 1 0 2 00( ) ( ) ( )nnna z z a a z z a z z??? ? ? ? ? ? ??20 1 20,nnnnna z a a z a z a z??? ? ? ? ? ??這類函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為 冪級(jí)數(shù) . 當(dāng) 或 時(shí) , 110( ) ( ) nnnf z a z z ???? 11() nnnf z a z ???或 的特殊情形 0 0z ?函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的形式為 0( ) ,nna z z? ? ? ?定理 (Abel定理 ) 若級(jí)數(shù) 在 0nnnaz??? 1 0z ?處收斂，則當(dāng) 時(shí) , 級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂 。=229。R ? ??(1) 當(dāng) 時(shí) , 收斂半徑 0??0。 f=1/(zb)。 2. 間接方法 . 1. 直接方法 ? ?() 01 ( ) 0 , 1 , 2 , ,! nnc f z nn??由 Taylor展開(kāi)定理計(jì)算級(jí)數(shù)的系數(shù) 然后將函數(shù) f (z)在 z0 展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) . 例 求 () zf z e? 在 0z? 的 Taylor展開(kāi)式 . ( ) ( ) 00( 0 ) ( ) 1 ,n z n zzzf e e??? ? ?所以它在 0z? 處的 Taylor級(jí)數(shù)為 ()00( 0 )!!nnznnnfzeznn????????21,2 ! !nzzz n? ? ? ? ? ?并且收斂半徑 .R ? ?? 因?yàn)? () zf z e?在復(fù)平面上解析，且 解 運(yùn)行下面的 MATLAB語(yǔ)句 . symsz。 taylor(f,z)ans=12*z^2+3*z^4例 求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值 ln( 1 )z? 在 z=0點(diǎn) 的 Taylor級(jí)數(shù) . 負(fù)實(shí)軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析 . 1?Ro1? 1 xy因?yàn)? ? ? 1ln ( 1 ) ,1z z??? ? 并且由 有 例 ? ?01 1 .1 nn zzz ????? ? ? ?21 1 ( 1 ) 1 ,1nnz z z zz ? ? ? ? ? ? ? ?? 函數(shù) ln( 1 )z? 在復(fù)平面中割去從點(diǎn) 1沿 解 運(yùn)行下面的 MATLAB語(yǔ)句 . symsz。 f=(1+z)^a。 Laurent級(jí)數(shù) Laurent 級(jí)數(shù)的概念 如果函數(shù) f (z)在 z0點(diǎn)解析 , 則在 z0的某鄰域內(nèi) , 可 展開(kāi)為 Taylor級(jí)數(shù) , 其各項(xiàng)由 zz0的非負(fù)冪組成 . 如果 f (z)在圓環(huán)域 1 0 2R z z R? ? ?內(nèi)解析 , 則 f (z)在這 個(gè)圓環(huán)域內(nèi)不一定都能展開(kāi)為 zz0的冪級(jí)數(shù) . 本節(jié)將引進(jìn)一種在 圓環(huán)域收斂的雙邊冪級(jí)數(shù) , 即 Laurent級(jí)數(shù) . 它將在后面討論孤立奇點(diǎn)與留數(shù) 及 Z變換理論中起重要作用 . 0( ) .nnnc z z?? ? ???負(fù)冪項(xiàng)部分 正冪項(xiàng)部分 主要部分 解析部分 nnnn zzc )( 0???????nnn zzc???? ?? )( 01這種雙邊冪級(jí)數(shù)的形式為 同時(shí)收斂 ?Laurent級(jí)數(shù) ?nnn zzc )( 00????收斂 nnn zzc )( 00????nnn zzc???? ?? )( 0110 )( ??? zz?令 nnnc ?????1收斂半徑 R 收斂時(shí) ,R??101 RRzz ???收斂域 收斂半徑 R2 20 Rzz ??收斂域 :)1( 21 RR ?若 兩收斂域無(wú)公共部分 。z? ? ? ?內(nèi)展開(kāi)成 Laurent級(jí)數(shù) . 例 將函數(shù) 1 ( ) ( 1 ) ( 2 )fz zz? ??在圓環(huán)域 ( 4 ) 0 1 1z? ? ?處都解析 , 并且可分解為 11( ) .12fz zz???? 典型例題 函數(shù) f (z)在 z=1和 z=2處不解析 , 在其它點(diǎn) 解 運(yùn)行下面的 MATLAB語(yǔ)句 . clear symsz。Q=[1,3,2]。 [n,d]=numden(f)。z??( 2 ) 1 2 。 f=z/(z+1)。 taylor(f)ans=z1/2*z^2+1/3*z^31/4*z^4+1/5*z^5所以 ? ?ln (1 )z ??根據(jù) ，把上式逐項(xiàng)積分，得 定理 4 .8 設(shè)冪級(jí)數(shù) 收斂半徑 00 ()nnn c z z?? ??半徑為 R , 并且在 內(nèi) , 0z z R??00( ) ( ) ,nnnf z c z z?????則 是 內(nèi)的解析函數(shù) , 且在收斂圓()fz 0z z R??0z z R??內(nèi) , 可以逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分 , 即(1 ) 當(dāng) 時(shí) , 0z z R?? ? ? 101( ) 。 taylor(f,z,8) % 這里 8是展開(kāi)的項(xiàng)數(shù)ans=1+z+1/2*z^2+1/6*z^3+1/24*z^4+1/120*z^5+1/720*z^6+1/5040*z^7 taylor(f,z) % 展開(kāi)的默認(rèn)值是 6項(xiàng)ans=1+z+1/2*z^2+1/6*z^3+1/24*z^4+1/120*z^52. 間接方法 借助于一些已知函數(shù)的展開(kāi)式 , 結(jié)合解析 函數(shù)的性質(zhì) , 冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì) (逐項(xiàng)求導(dǎo) , 逐項(xiàng) 積分等 )和其它的數(shù)學(xué)技巧 (代換等 ) , 求函數(shù)的 Taylor展開(kāi)式 . 間接法的優(yōu)點(diǎn) : 不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , 因而比直 接展開(kāi)更為簡(jiǎn)潔 , 使用范圍也更為廣泛 . 例 利用 001 1 1c o s ( ) ( ) ,2 2 ! !i z i znnnneez iz iznn? ???????? ? ? ???????2 2 4 20( 1 )c o s 1 ( 1 ) ,( 2 ) ! 2 ! 4 ! ( 2 ) !n n nnnz z z zznn???? ? ? ? ? ? ? ??并且收斂半徑 .R ? ??同理 210( 1 )sin( 2 1 ) !nnnzzn???????? ?3 5 2 1( 1 ) .3 ! 5 ! ( 2 1 ) !nnz z zzz n ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??本例利用直接方法也很簡(jiǎn)單 以及 ? ?20 1 .! 2 ! !nnz n z z ze z z??? ? ? ? ? ? ? ? ??例 可解得 性質(zhì) 4 .1 (1 ) 設(shè)級(jí)數(shù) 和 的收斂0 nnn az??? 0 nnn bz???半徑分別為 和1R 2,R 則在 內(nèi) , 0 0 0( ) ,n n nn n n
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1