【文章內(nèi)容簡介】 以及進行數(shù)值計算的一種工具 . 對于復變函數(shù) , 我們已經(jīng)知道冪級數(shù)在收斂 圓域內(nèi)收斂于解析函數(shù) . 在本節(jié)我們將證明解析 函數(shù)在解析點的某鄰域內(nèi)一定能夠展開成冪級數(shù) — Taylor級數(shù) . 這是解析函數(shù)的重要特征 . Taylor級數(shù)展開定理 R為 到 D邊界的距離 0z定理 (Taylor展開定理 ) 設 在區(qū)域 D )(zf內(nèi)解析 , 0z 為 D內(nèi)的一點 , ,)()(00?????nnn zzczf? ?0, 1 , 2, .n ?D0z. R (D是全平面時 , R=+?), 則 在 內(nèi)可 0z z R??()fz展開為冪級數(shù) 其中 () 01 ()! nnc f zn?系數(shù) 按上述表示的冪級數(shù)稱為 ()fz在 點的 Taylor級數(shù) . 0zTaylor展開式的惟一性定理 定理 設 ()fz是 D上的解析函數(shù) , 0z 是 D內(nèi)的點，且在 0z z R??內(nèi)可展成冪級數(shù) 00( ) ( ) ,nnnf z c z z??????則這個冪級數(shù)是 ()fz在 0z 點的 Taylor級數(shù)，即 ()0() ( 0, 1 , 2, ) .!nnfzn? ??注 這個定理為把函數(shù)展開成 Taylor級數(shù)的間接 方法奠定了基礎 . 將函數(shù)展開成 Taylor級數(shù) 將函數(shù)展開為 Taylor級數(shù)的方法 : 1. 直接方法 。 2. 間接方法 . 1. 直接方法 ? ?() 01 ( ) 0 , 1 , 2 , ,! nnc f z nn??由 Taylor展開定理計算級數(shù)的系數(shù) 然后將函數(shù) f (z)在 z0 展開成冪級數(shù) . 例 求 () zf z e? 在 0z? 的 Taylor展開式 . ( ) ( ) 00( 0 ) ( ) 1 ,n z n zzzf e e??? ? ?所以它在 0z? 處的 Taylor級數(shù)為 ()00( 0 )!!nnznnnfzeznn????????21,2 ! !nzzz n? ? ? ? ? ?并且收斂半徑 .R ? ?? 因為 () zf z e?在復平面上解析，且 解 運行下面的 MATLAB語句 . symsz。 f=exp(z)。 taylor(f,z,8) % 這里 8是展開的項數(shù)ans=1+z+1/2*z^2+1/6*z^3+1/24*z^4+1/120*z^5+1/720*z^6+1/5040*z^7 taylor(f,z) % 展開的默認值是 6項ans=1+z+1/2*z^2+1/6*z^3+1/24*z^4+1/120*z^52. 間接方法 借助于一些已知函數(shù)的展開式 , 結合解析 函數(shù)的性質(zhì) , 冪級數(shù)運算性質(zhì) (逐項求導 , 逐項 積分等 )和其它的數(shù)學技巧 (代換等 ) , 求函數(shù)的 Taylor展開式 . 間接法的優(yōu)點 : 不需要求各階導數(shù)與收斂半徑 , 因而比直 接展開更為簡潔 , 使用范圍也更為廣泛 . 例 利用 001 1 1c o s ( ) ( ) ,2 2 ! !i z i znnnneez iz iznn? ???????? ? ? ???????2 2 4 20( 1 )c o s 1 ( 1 ) ,( 2 ) ! 2 ! 4 ! ( 2 ) !n n nnnz z z zznn???? ? ? ? ? ? ? ??并且收斂半徑 .R ? ??同理 210( 1 )sin( 2 1 ) !nnnzzn???????? ?3 5 2 1( 1 ) .3 ! 5 ! ( 2 1 ) !nnz z zzz n ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??本例利用直接方法也很簡單 以及 ? ?20 1 .! 2 ! !nnz n z z ze z z??? ? ? ? ? ? ? ? ??例 可解得 性質(zhì) 4 .1 (1 ) 設級數(shù) 和 的收斂0 nnn az??? 0 nnn bz???半徑分別為 和1R 2,R 則在 內(nèi) , 0 0 0( ) ,n n nn n n nn n na b z a z b z? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?0 1 1 00 0 0 .n n nn n n n nn n na z b z a b a b a b z? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?(2 ) 設級數(shù) 的收斂半徑為 r.0() nnnf z c z??? ?如果在 內(nèi) , 函數(shù) 解析 , 并且Rz? )(zg ,)( rzg ?則當 時 ,Rz? 0[ ( ) ] [ ( ) ] .nnnf g z c g z??? ?和 ? ?21 1 ( 1 ) 1 ,1 nnz z z zz ? ? ? ? ? ? ? ??例 求 21() ( 1 )fz z? ?在 0z? 點鄰域內(nèi) 的 Taylor級數(shù) . 解 1 1z ??是 ()fz的惟一奇點 , 且 1 0 1 ,z ??故收斂半徑 ? 在 中，用 z替換 z, 則 例 ? ?01 1 .1 nn zzz ????? ?逐項求導，得 ? ?221 1 2 3 ( 1 ) ( 1 ) 1 .( 1 ) nnz z n z zz ? ? ? ? ? ? ? ? ??例 將 ? ? 221()1fzz??展開為 z的冪級數(shù) . ? ?201 ( 1 ) ( 1 ) 1 ,( 1 )nnnn ?????? ? ? ?? ?令 則 2 ,z? ?22201 ( 1 ) ( 1 )( 1 )nnnnzz??? ? ?? ?? ?2 4 21 2 3 ( 1 ) ( 1 ) 1 .nnz z n z z? ? ? ? ? ? ? ? ?根據(jù)例 ， 解 運行下面的 MATLAB語句 . symsz。 f=1/(1+z^2)^2。 taylor(f,z)ans=12*z^2+3*z^4例 求對數(shù)函數(shù)的主值 ln( 1 )z? 在 z=0點 的 Taylor級數(shù) . 負實軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析 . 1?Ro1? 1 xy因為 ? ? 1ln ( 1 ) ,1z z??? ? 并且由 有 例 ? ?01 1 .1 nn zzz ????? ? ? ?21 1 ( 1 ) 1 ,1nnz z z zz ? ? ? ? ? ? ? ?? 函數(shù) ln( 1 )z? 在復平面中割去從點 1沿 解 運行下面的 MATLAB語句 . symsz。 f=log(1+z)。 taylor(f)ans=z1/2*z^2+1/3*z^31/4*z^4+1/5*z^5所以 ? ?ln (1 )z ??根據(jù) ，把上式逐項積分，得 定理 4 .8 設冪級數(shù) 收斂半徑 00 ()nnn c z z?? ??半徑為 R , 并且在 內(nèi) , 0z z R??00( ) ( ) ,nnnf z c z z?????則 是 內(nèi)的解析函數(shù) , 且在收斂圓()fz 0z z R??0z z R??內(nèi) , 可以逐項求導和逐項積分 , 即(1 ) 當 時 , 0z z R?? ? ? 101( ) 。nnnf z nc z z? ??? ???10( 1 )ln (