【文章內(nèi)容簡介】 洛朗展開式中01zz? 的系數(shù)。 說明：圍線積分可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的洛朗展開式中 10()zz?? 的系數(shù)。 （十三） 孤立奇點的概念與分類 1。 孤立奇點的定義 ： ??fz在 0z 點不解析 ,但在 0z 的 00 zz ?? ? ? 內(nèi)解析。 11 2。孤 立奇點的類型： 1 ） 可 去 奇 點 ： 展 開 式 中 不 含 0zz? 的負冪項；? ? ? ? ? ?20 1 0 2 0f z c c z z c z z? ? ? ? ? ? 2）極點：展開式中含有限項 0zz? 的負冪項； ? ? ( 1 ) 21 0 1 0 2 010 0 0 ( ) ( )( ) ( ) ( )mm mm cc cf z c c z z c z zz z z z z z??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?0 ,()mgzzz? ? 其中 ? ? 1( 1 ) 0 1 0 0 0( ) ( ) ( )mmmmg z c c z z c z z c z z?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?在 0z 解析， 且 ? ?0 0 , 1, 0mg z m c ?? ? ?； 3）本性奇點：展開式中含無窮多項 0zz? 的負冪項； ? ? 1 0 1 0 000 ( ) ( )( ) ( ) mm mmc cf z c c z z c z zz z z z? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? （十四）孤立奇點的判別方法 1．可去奇點： ? ?0 0limzzf z c? ?常數(shù)； 2．極點： ? ?0limzzfz? ?? 3．本性奇點： ? ?0limzzfz?不存在且不為 ? 。 4．零點與極 點的關系 1）零點的概念：不恒為零的解析函數(shù) ??fz，如果能表示成? ? ? ?0()mf z z z z??? ， 其中 ??z? 在 0z 解析， ? ?0 0,zm? ? 為正整數(shù)，稱 0z 為 ??fz的 m 級零點； 2）零點級數(shù)判別的充要條件 0z 是 ??fz的 m 級零點 ?? ? ? ?? ? ? ?000 , ( 1 , 2 , 1 )0nmf z n mfz? ? ? ?????? 3）零點與極點的關系： 0z 是 ??fz的 m 級零點 ? 0z 是 ??1fz的 m 級極點； 4）重要結(jié)論 12 若 za? 分別是 ??z? 與 ??z? 的 m 級與 n 級零點，則 ? za? 是 ??z? ??z? 的 mn? 級零點； ? 當 mn? 時， za? 是 ????zz??的 mn? 級零點； 當 mn? 時， za? 是 ????zz??的 nm? 級極點； 當 mn? 時， za? 是 ????zz??的可去奇點； ? 當 mn? 時， za? 是 ? ? ? ?zz??? 的 l 級零點， min( , )l m n? 當 mn? 時， za? 是 ? ? ? ?zz??? 的 l 級零點，其中 ()l mn? （十五）留數(shù)的概念 1．留數(shù)的定義： 設 0z 為 ??fz的孤立奇點， ??fz在 0z 的去心鄰域00 zz ?? ? ? 內(nèi)解析， c 為該域內(nèi)包含 0z 的任一正向簡單閉曲 線，則稱積分 ??12 cf z dzi? ?為 ??fz 在 0z 的 留 數(shù) （ 或 殘 留 ）， 記 作 ? ? 0Re [ , ]s f z z ? ? ?12 c f z dzi? ? 2．留數(shù)的計算方法 若 0z 是 ??fz的孤立奇點，則 ? ?0Re [ , ]s f z z ?1c?，其中 1c? 為 ??fz在0z 的去心鄰域內(nèi)洛朗展開式中 10()zz?? 的系數(shù)。 1）可去奇點處的留數(shù)： 若 0z 是 ??fz的可去奇點，則 ? ?0Re [ , ]s f z z ?0 2） m 級極點處的留數(shù) 法則 I 若 0z 是 ??fz的 m 級極點，則 ? ?0Re [ , ]s f z z ? ? ?01011 l im [ ( ) ]( 1 ) !m mmzz d z z f zm d z??? ?? 特別地，若 0z 是 ??fz的一級極點，則 ? ?0Re [ , ]s f z z ? ? ?0 0lim ( )zz z z f z? ? 13 注： 如果極點的實際級數(shù)比 m 低，上述規(guī)則仍然有效。 法則 II 設 ? ? ? ?? ?PzfzQz?， ? ? ? ?,P z Q z 在 0z 解析， ? ?0 0,Pz? ? ? ? ?000 , 0Q z Q z???，則 ? ?? ? ? ?? ?000R e [ , ]P z P zszQ z Q z? ? （十六）留數(shù)基本定理 設 ??fz在區(qū)域 D 內(nèi)除有限個孤立奇點 12,nz z z 外處處解析， c為 D 內(nèi) 包 圍 諸 奇 點 的 一 條 正 向 簡 單 閉 曲 線 ， 則? ? ? ?12 R e [ , ]nc nf z d z i s f z z? ??? ?? 說明： 留數(shù)定理把求沿簡單閉曲線積分的整體問題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù) ??fz在 c 內(nèi)各孤立奇點處留數(shù)的局部問題。 積分變換復習提綱 一、傅里葉變換的概念 ? [ ( ) ] ( ) ( )j w tF f t f t e d t F w?? ?????? ? 1 1[ ( ) ] ( ) ( )2 jtF F F e d f t?? ? ?? ???????? 二、幾個常用函數(shù)的 傅里葉變換 ? 1[ ( )]F e tj??? ? 14 ? 1[ ( )] ( )F u tj ?? ???? ? [ ( )] 1Ft? ? ? [1] 2 ( )F ?? ?? 三、傅里葉變換的性質(zhì) ? 位移性（時域）： 00[ ( )] jw tF f t t e??? [ ()]Ff t ? 位移性（頻域）： 00 0[ ( ) ] ( ) ( )j w t F e f t F w F w w??? ? ? ? 位移性推論：0 0 01[ s in ( ) ] [ ( ) ( ) ]2F w t f t F w w F w wj? ? ? ? ? 位移性推論：0 0 01[ c o s ( ) ] [ ( ) ( ) ]2F w t f t F w w F w w? ? ? ? ? 微分性（時域） ： [ ( )] ( ) ( )F f t jw F w? ? （ , ( ) 0t f t? ?? ?）， ()[ ( )] ( ) ( )nnF f t jw F w? ， ( 1 ), ( ) 0nt f t?? ?? ? ? 微分性（頻域）： ? ? ? ? ()[ ( ) ] , [ ( ) ( ) ] ( )nnF j t f t F w F j t f t F w?? ? ? ? ? 相似性： 1[ ( )] ( )wF f a t Faa? ( 0)a? 四、拉普拉斯變換的概念 ? 0[ ( ) ] ( ) ( )stL f t f t e d t F s?? ???? 五、幾個常用函數(shù)的拉普拉斯變換 ? 1[]ktLe sk? ? ； ? 11( 1 ) ![ ] (m mmL t mss??????是自然數(shù) ) ；（ 1(1 ) 1 , ( ) , ( 1 ) ( )2 m m m?? ? ? ? ? ? ? ?） ? 1[ ( )] [1]L u t L s??； ? [ ( )] 1Lt? ? ? 2 2 2 2[ s in ] , [ c o s ]ksL k t L k ts k s k???? ? 2 2 2 2[ s ] , [ ]L h k t L c h k ts k s k?? ? 設 ( ) ( )f t T f t?? ，則01[ ( )] ( )1TTsL f t f t d te ?? ? ?。（ ()ft是以 T 為周期的周期 15 函數(shù)） 六、拉普拉斯變換的性質(zhì) ? 微分性（時域） ： ? ? ? ? ? ? 2[ ] 0 , [ ( ) ] ( ) ( 0 ) ( 0 )L f t sF s f L f t s F s sf f? ?? ?? ? ? ? ? ? 微分性（頻域 ）： ? ? ? ?[( ) ]L t f t F s ???， ? ? ? ?()[( ) ]nnL t f t F s?? ? 積分性 （時域 ）： ? ? ? ?0[]t FsL f t d t s?? ? 積分性（頻域 ）： ? ? ? ?[]sftL F s d st ?? ? （收斂） ? 位移性（時域 ）： ? ? ? ?[]atL e f t F s a?? ? 位移性（頻域 ）： ? ? ? ?[] sL f t e F s?? ??? （ 0?? , 0, ( ) 0t f t??） ? 相似性： 1[ ( )] ( )sL f at Faa? ( 0)a? 七、卷積及卷積定理 ? 1 2 1 2( ) * ( ) ( ) ( )f t f t f f t d? ? ???????? ? 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )F f t f t F w F w? ? ? ? 1 2 1 21[ ( ) ( ) ] ( ) ( )2F f t f t F w F w?? ? ? ? 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )L f t f t F s F s? ? ? 八、幾個積分公式 ? ( ) ( ) (0)f t t dt f????? ?? ? 00( ) ( ) ( )f t t t d t f t????? ??? ? 0 0 0() [ ( ) ] ( )ft d t L f t d s F s d st? ? ? ???? ? ?15 ? 0 ( ) [ ( ) ]kt skf t e d t L f t?? ? ??? 模擬試卷一 一 .填空題 16 1. ???