復(fù)變函數(shù)與積分變換習(xí)題解答(編輯修改稿)
2025-04-21 00:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 支）。后一式也同樣理解，但對(duì)等式 和它兩端所能取的值從全體上看還是不一致的。如對(duì)，取時(shí)，設(shè)，得而從，得 兩者的實(shí)部是相同的，但虛部的可取值不完全相同。（4）調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)有什么關(guān)系？答：如果是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它的實(shí)部和虛部的二階偏導(dǎo)數(shù)必連續(xù)，從而滿足拉普拉斯方程，所以是調(diào)和函數(shù)。由于解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍是解析函數(shù)，所以它的實(shí)部和虛部的任意階偏導(dǎo)數(shù)都是的相應(yīng)階導(dǎo)數(shù)的實(shí)部和虛部，所以它們的任意階偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)。故可以推出：、的任意階偏導(dǎo)數(shù)仍是調(diào)和函數(shù)。（5）若是的共軛調(diào)和函數(shù)，可以說是的共軛調(diào)和函數(shù)嗎？答：不行，兩者的地位不能顛倒。因?yàn)?，若是的共軛調(diào)和函數(shù)，則應(yīng)有而是的共軛調(diào)和函數(shù)，要求兩者一般不能同時(shí)成立，所能推知的是是的共軛調(diào)和函數(shù)。練 習(xí) 五1．計(jì)算積分，積分路徑：自原點(diǎn)沿實(shí)軸至1，再由1鉛直向上至1+i。0(1,i)解： 2．計(jì)算積分的值，其中C為（1）（2）解：令 則 當(dāng)時(shí)，為當(dāng)時(shí)，為C1DC23．求積分的值，其中C為由正向圓周與負(fù)向圓周所組成。y21解： 4．計(jì)算，其中C為圓周解：5．計(jì)算下列積分值：（1）解：（2）解：6．當(dāng)積分路徑是自沿虛軸到i，利用積分性質(zhì)證明：證：*（1）在積分的定義中為什么要強(qiáng)調(diào)積分“沿曲線由到的積分”？它與“沿曲線由到的積分”有什么區(qū)別？答：在定積分中已有，即積分是與區(qū)間的方向有關(guān)的，這里在上的積分也與的方向有關(guān)。這從積分和式中的因子可直接看出，若改變的方向，即是沿曲線由到積分，則積分與原積分反號(hào)： 其中表示的反向曲線。（2）復(fù)函數(shù)的積分與實(shí)一元函數(shù)定積分是否一致？答：若是實(shí)軸上的區(qū)間，由定義知 即為一個(gè)實(shí)函數(shù)的積分，如果是實(shí)值的，則為一元實(shí)函數(shù)的定積分，因而這樣定義復(fù)變函數(shù)積分是合理的，而且可以把高等數(shù)學(xué)中的一元實(shí)函數(shù)的定積分當(dāng)作復(fù)積分的特例看待。應(yīng)當(dāng)注意的是，一般不能把起點(diǎn)為，終點(diǎn)為的函數(shù)的積分記作，因?yàn)檫@是一個(gè)線積分，要受積分路線的限制，必須記作（3）應(yīng)用柯西——古薩定理應(yīng)注意些什么？答：必須注意定理的條件“單連域”，被積函數(shù)雖然在內(nèi)處處解析，但只要不是單連的，定理的結(jié)論就不成立。例如在圓環(huán)域：內(nèi)解析，為域內(nèi)以原點(diǎn)為中心的正向圓周，但，就是因?yàn)椴粷M足“單連域”這個(gè)條件。還要注意定理不能反過來用，即不能因?yàn)橛?，而說在內(nèi)處處解析，例如,但在內(nèi)并不處處解析。練 習(xí) 六1．計(jì)算下列積分（1）解：為奇點(diǎn)： （2）解：（3）解：=0（4），其中為負(fù)向。解：或 2．若是區(qū)域內(nèi)的非常數(shù)解析函數(shù)，且在內(nèi)無零點(diǎn)，則不能在內(nèi)取到它的最小模。證：設(shè)， 因?yàn)榉浅?shù)解析函數(shù)，且則為非常數(shù)解析函數(shù) 所以在內(nèi)不能取得最大模即不能在內(nèi)取得最小模，且在上有試證。證：因 （在上） 所以 上4．設(shè)與在區(qū)域內(nèi)處處解析，為內(nèi)的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線，它的內(nèi)部全含于，如果=在上所有點(diǎn)處成立，試證在內(nèi)所有的點(diǎn)處=也成立。證：設(shè)，因均在內(nèi)解析，所以在內(nèi)解析。在上，有： 所以 由的任意性可知：在內(nèi)*5．思考題（1）復(fù)合閉路定理在積分計(jì)算中有什么用處？要注意什么問題？ 答：由復(fù)合閉路定理，可以把沿區(qū)域外邊界線的回路積分轉(zhuǎn)化為沿區(qū)域內(nèi)邊界線的積分，從而便于計(jì)算。特別地，如果積分回路的內(nèi)域中含有被積函數(shù)的有限個(gè)奇點(diǎn)，我們就可以挖去包含這些點(diǎn)的足夠小的圓域（包括邊界），函數(shù)在剩下的復(fù)連域解析，由復(fù)合閉路定理，就可以將大回路
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