【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 y? ? ?? ． 那么 ( ) 2 ( 1)v g x xx? ?? ? ? ?? ， 則 2( ) 2g x x x C? ? ? ?， 所以 222v x x y C? ? ? ? ?， 2222( ) ( 2 2 ) i ( 2 ) ii ( i ) 2( i ) 1 ii ( 1 ) if z x y y x x y Cx y x y CzC? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? 由 (2) if ?? 知 0C? ，所以 2( ) i( 1)f z z? ? ? ． 習(xí)題 4： 下列數(shù)列 ??nz 是否收斂？若收斂，求其極限． (1) 1i1in nz n?? ?； (2) i12nnz?????????； (3) i( 1) 1nnz n? ? ? ?； (4) i2nnze??? ． 解： (1) 222 2 21 i 1 2 i 1 2i1 i 1 1 1n n n n n nz n n n n? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，當(dāng) n?? 時(shí)，實(shí)部 221 11 nn? ???，虛部22 01 nn ??，所以 ??nz 收斂于 1? ． (2) ii5122nnnnze???????? ? ? ????????，當(dāng) n?? 時(shí) 5 02n???????? ，那么 0nz ? ，所以 ??nz 收斂于 0． (3) 當(dāng) n?? 時(shí)，實(shí)部 (1)n? 是發(fā)散的，所以 ??nz 發(fā)散． (4) i2 c o s i s in22nn nnze ? ???? ? ?，實(shí)部和虛部都發(fā)散，所以 ??nz 發(fā)散． 判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性與絕對(duì)收斂性： (1) 21131inn nn?????????????????； (3) i221nnen?????． 解： (1) 記2131innz nn??? ? ?????，則當(dāng) n?? 時(shí) 1Re ( ) 1 nnzen??? ? ?????，那么 nz 不趨近于 0，所以級(jí)數(shù)發(fā)散． (3) i222111nnnenn?????????收斂，即級(jí)數(shù) i221nnen?????絕對(duì)收斂，所以收斂． 將下列各函 數(shù)展成 z 的冪級(jí)數(shù)，并指出它們的收斂半徑． (1) 311 z?； (3) 2cosz ． 解： (1) 3 3 633 011 ( ) 11 1 ( ) nn z z zzz??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?． 因?yàn)?1( 1)lim 1( 1)nnn????????，所以收斂半徑 1R? ． (3) 2202 1 2 2 3 4 5 60c os 2 1 1 ( 2 )c os ( 1 ) 12 2 ( 2 ) !2 1 2 2 2( 1 ) 1( 2 ) ! 2 2 ! 4 ! 6 !nnnnnnnzzznz z z zn????????? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ??? 因?yàn)?11212( 1 )( 2 2) ! 4l i m l i m 0( 2 1 ) ( 2 2)2( 1 )( 2 ) !nnnnnnnnnn????? ? ? ?? ?? ? ????，所以收斂半徑 R?? ． 將下列各函數(shù)在指定點(diǎn) 0z 處展成泰勒級(jí)數(shù)，并指出它們的收斂半徑． (3) 21z， 0 1z ?? ； (4) 143z? ， 0 1iz ?? ； (6) arctanz ， 0 0z? ． 解： (3) 0() 20() ( 1 ) ( 1 ) ! 1!!n nnn zzfz nznn?????? ? ? ?，則 201 ( 1)( 1) nn nzz??? ? ??． 因?yàn)?1lim 1nnn??????，所以收斂半徑 1R? ． (4) 0() 101() 3 ! ( 4 3 ) 3! ! ( 1 3 i )n n n nnnzzfz nzc nn ?????? ? ? ?，則 ? ?1013 (1 i )4 3 (1 3 i )n nnn zz ? ??? ? ???? ． 因?yàn)?121 333l im (1 3 i ) (1 3 i ) 10nnnnn??????????，所以收斂半徑 103R? ． (6) 21222 00 0 000a r c ta n ( ) ( ) ( 1 )1 2 1nz z zn n nn nnd z zz z d z z d zzn????? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ?． 因?yàn)?1( 1 ) ( 1 )lim 12 3 2 1nnn nn??????????，所以收斂半徑 1R? ． 求下列各函數(shù)在指定圓環(huán)域的洛朗級(jí)數(shù)展開式： (2) 21(1 )zz?， 01z??， 11z? ? ???； (5) 2 1( i)zz?，在以 i 為中心的圓環(huán)域內(nèi)； (7) 1( 2)( 3)zz??， 3z? ． 解： (2) 在 01z??內(nèi)，由于011 nn zz???? ?，且211(1 ) 1zz???? ??????，所以 2 01 ( 1)(1 ) nn nzz????? ?， 從而2 11 ( 2 )(1 ) nn nzzz?????? ?． 在 11z? ? ???內(nèi)，由于 1 11z ??，所以 01 1 1 1 1 111 ( 1 ) 1 1 11 1nnz z z z zz????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ?， 從而2301 ( 1)(1 ) ( 1)nnnz z z??? ?????． (5) 當(dāng) 0 i 1z? ? ? 時(shí)，由于211zz????????? ，且 1001 1 1 1 1 i ( i )( 1 )ii ( i ) i i i i1 in nnnnnzzzzz?????????? ? ? ? ? ? ?????? ??? ??， 所以 12111 ( i )( 1) innnn nzz???? ?? ? ??，從而 212111 ( i )( 1 )( i ) innnn nzzz?? ??? ???? ?． 當(dāng) 1iz? ? ?? 時(shí)，由于 i 11z ??，所以 1001 1 1 1 1 i i( 1 )ii ( i ) i i i ( i )1 in nnnnnz z z z z zz???????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ??， 且211zz????????? ，從而2211 ( 1)i( 1) ( i)nnnn nzz??? ??? ??，所以 2311 ( 1 ) i( 1 )( i ) ( i)nnnn nz z z??? ??????． (7) 由于 2 1z?且 3 1z?，所以 10 0 0 01 1 1 1 1 1( 2) ( 3 ) 3 2 1 3 1 21 3 2 1 3 2 3 2nn n n n nnnn n n nz z z z z z zz z z z z z? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? 習(xí)題 5： 求下列函數(shù)的孤立奇點(diǎn)并確定它們的類別，若是極點(diǎn)，指出它們的級(jí)． (1) 221( 1)zz?； (3) 3sinzz； (4) ln( 1)zz? ； (7) 2 1( 1)zze?； (11) 1sin1 z? ． 解： (1) 易見(jiàn) 0z? ， iz?? 是221() ( 1)fz zz? ?的孤立奇點(diǎn)．由于220 1lim ( 1)z zz? ???，22i 1lim ( 1)z zz?? ???，所以 0z? ，iz?? 是極點(diǎn)． 0z? ，一級(jí)極點(diǎn)， iz?? ，二級(jí)極點(diǎn)． (3) 30 sinlimz zz? ??，所以 0z? 是極點(diǎn)． 0z? ，二級(jí)極點(diǎn)． (4) 易見(jiàn) 0z? 是 ln( 1)() zfz z?? 的孤立奇點(diǎn)，且0 ln( 1)lim 1z zz? ? ?，所以 0z? 是可去奇點(diǎn)； (7) 0z? ，三級(jí)極點(diǎn)， 2 i 1, 2 ,z k k?? ? ? ?（ ），一級(jí)極點(diǎn)； (11) 1z? ，本性奇點(diǎn)． 求下列各函數(shù)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù)． (2) ? ?211zz? ； (3) ? ?2 22 1zz ?； (6) 2 1sinzz． 解： (2) 記 ?